科学のおもちゃ箱 @wiki

2001年横浜国立大の入試問題に慣性系間の電磁場の変換が出題されていますが，同じかな？
※確認しましたが，ほとんどそのまんまですね。図も同じようです。

一様な電界と磁界がかかった平面上を運動する荷電粒子(質量,電荷)を考える。
平面上に静止している観測者Sから見た時、図1のように方向に強さの電界と方向に磁束密度の磁界がそれぞれ一様にかかっているものとする。ただし、平面に垂直で紙面の裏から表に向かう方向を方向とする。
観測者Sに対して方向に一定の速さで動いている観測者Mを考える(図2)。
観測者Mが測定する磁界は観測者Sが測定するものと同じで一様であり、方向に磁束密度の大きさをもつ。一方、磁界中を動いている観測者Mから見た電界は一様であるが、静止している観測者Sから見た電界と強さが異なる。
これは、磁界中を動いている座標系では起電力が生じているためである。
観測者Mの速さは光速に比べて非常に小さいものとする。

(1)のとき、観測者Mから見て、荷電粒子は常に静止していた。このとき、観測者Mが電界の強さを測定すると0であった。

(a)観測者Sから見た時の力のつりあいを考えて、速さをとを用いて表せ。

(2)のとき、荷電粒子を平面上に(Sに対して)静かに置いた。観測者Mから見ると、その後、荷電粒子は等速円運動をし始めた。このとき観測者Mが測定する電界の強さは0なので、Mの速さは前問(a)で決まる値と同じであることがわかる。

(b)観測者Mから見た時、荷電粒子が受けるローレンツ力の大きさはに比例する。この比例定数を答えよ。

(c)この円運動の半径をのみを用いて答えよ。

(d)観測者Sが観測する荷電粒子の運動を簡潔に説明せよ。

この問題で解答では
(a)Mから見て、粒子は静止しているからローレンツ力は0である。したがってMから見ると、方向の電場に加えて方向の電場が生じて、さし引き電場も0になって粒子は静止している。これをSから見ると、粒子は方向に速さで等速度運動をしている。
方向の力のつりあいより、

※電磁場のローレンツ変換によると，

となるような速度ということになる。ただし，この変換はが前提である。
一般に任意の方向の電磁場の変換は，


となる。ただし，ここで

【参考】特殊相対性理論compact P.23

(b)Mから見た等速円運動の速さはだから、設問(e)を用いて

(c)求める値をとすると、円運動の運動方程式より

(d)Sから見ると、粒子の初速は0だから、はじめ電場によって方向に動き出す。その後、円の中心が方向に速さの等速運動をし、その中心に対して粒子は速さで時計回りの等速円運動をする。動き始めてから半周期後に、方向の変位が最大になり、1周期後に、軸上に戻って一瞬速度が0になる。以後、これらの運動を繰り返す。

※この運動の軌跡は，サイクロイドである。