【解答】すべる棒が壁を離れるとき - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】すべる棒が壁を離れるとき

【問題】 $\rightarrow$ 　すべる棒が壁を離れるとき

床と壁の交点を原点とし，水平右方向に $x$ 軸，鉛直上方に $y$ 軸をとる。棒の長さを $l$ とおくと，壁との角度 $\theta$ のとき重心の座標・速度・加速度は，

$x = \frac{1}{2}l\sin\theta \qquad y = \frac{1}{2}l\cos\theta$

$\dot{x} = \frac{1}{2}l\dot{\theta}\cos\theta \qquad \dot{y} = -\frac{1}{2}l\dot{\theta}\sin\theta$

$\ddot{x} = \frac{1}{2}l(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta) \qquad \ddot{y} = -\frac{1}{2}l(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)$

図のようにおくと，運動方程式は

$m\ddot{x} = R$

$m\ddot{y} = N - mg$

$I\ddot{\theta} = N\cdot\frac{l}{2}\sin\theta - R\cdot\frac{l}{2}\cos\theta$

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}mgl\cos\theta_0 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mgl\cos\theta$

ただし，上で棒の重心周りの慣性モーメントは，

$I = \frac{1}{12}ml^2$

である。エネルギー保存から，

$\dot{\theta}^2 = \frac{3g}{l}(\cos\theta_0 - \cos\theta)$

ここで， $R=0$ とおくと，運動方程式の水平成分より $\ddot{x}=0$ 。すなわち，

$\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\sin\theta = 0$

$\therefore \ddot{\theta} = \dot{\theta}^2\tan\theta$

また，回転の運動方程式より，

$N = \frac{ml\ddot{\theta}}{6\sin\theta} = \frac{ml\dot{\theta}^2}{6\cos\theta}$

さらに，運動方程式の鉛直成分より，

$\ddot{y} = -\frac{l}{2}(\ddot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = \frac{N}{m} - g$

上の結果を代入して整理すると，

$\cos\theta = \frac{2}{3}\cos\theta_0$

を得る。壁に接した端点または重心が，初めの高さから2/3の高さになるまですべり落ちた時点で，棒は壁を離れ始める。離れる瞬間は，重心速度の水平成分が一定に移行することから判定できる。

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最終更新：2010年06月11日 15:22

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