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「かぎしっぽ」の掲示板から。

【問題】※一部改題
半径 、質量 の２個の円盤が 平面上を運動する。速度 で 方向に運動している円盤１が静止している円盤２に弾性衝突をする。２個の円盤は正面衝突をするのではなく、衝突パラメターが の衝突をする。衝突後の２個の円盤の 方向の速度を の関数として求めなさい。ただし、衝突パラメターとは衝突前の２個の円盤の中心間のベクトルの 成分のことである。また，円盤の側面はなめらかであり，衝突時の摩擦力は無視できるものとする。

（ａ）衝突前により円盤１と円盤２の間にはどのような力が働くか。その方向を示しなさい。
（ｂ）衝突する瞬間にのみ撃力が働く。そこでその撃力を時間で積分した力積を とすれば、
　　衝突後の両円盤の速度ベクトル の成分はどのように表わされるか。
（ｃ）衝突前の前後エネルギーが保存されるとすれば、どのような関係式が導かれるか。
（ｄ）上の問題（ｂ）と（ｃ）の結果を用いて、力積 を求めなさい。
（ｅ）求められた を用いて、円盤１と円盤２の衝突後の速度ベクトルを求めなさい。

（ａ）下図の力積ベクトル および の方向。

（ｂ）
ベクトル方程式で書けば，


となるから，これを成分に書き下ろして

（ｃ）

すなわち，

（ｄ）（ｂ）の結果を（ｃ）の結果に代入して整理すると，

（ｅ）（ｄ）の結果を（ｂ）の結果に代入して，