【解答】降り注ぐ粒子群の中の物体

(1)

$m \ll M$ により，１個の粒子が１回衝突することによる台の速度変化は， $V$ に対して $m/M$ の程度であるから無視できるものとして，台から見た粒子の速度変化を考えると図のようになる。

したがって，斜面および前面への粒子衝突によって，台が受ける力積の水平成分は，

$P_1 = 2m(v\cos\theta - V\sin\theta)\sin\theta$

$P_2 = 2mV$

となる。

(2)

斜面および前面に ${\it\Delta}t$ の間に衝突するのは，図の平行四辺形を断面とする領域にある粒子であるから，その個数はそれぞれ

$N_1 = nS(v\cos\theta - V\sin\theta){\it\Delta}t$

$N_2 = nS\sin\theta\cdot V{\it\Delta}t$

となる。

(3)

斜面および前面が ${\it\Delta}t$ の間に受ける力積は，

$N_1 P_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta\cdot{\it\Delta}t$

$N_2 P_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2{\it\Delta}t$

したがって，斜面および前面が受ける平均の力は，

$F_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta$

$F_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2$

終端速度は， $F_1 = F_2$ によって与えられるから，

$v\cos\theta - V\sin\theta = V \qquad \therefore V = \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\;v$

を得る。

※　Algodoo での設定は， $M=700{\rm [kg]}, m=1.6{\rm [kg]},v = 20{\rm [m/s]},V = 11.5 {\rm [m/s]},\theta = \pi/6$ である。シミュレーション結果は良好で，力学シミュレータとしての Algodoo の実力を発揮する一題となった。