2次元の弾性衝突

２次元の弾性衝突

「かぎしっぽ」の掲示板から。

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【問題】※一部改題
半径 $a$ 、質量 $m$ の２個の円盤が $x-y$ 平面上を運動する。速度 $\boldsymbol{u}$ で $x$ 方向に運動している円盤１が静止している円盤２に弾性衝突をする。２個の円盤は正面衝突をするのではなく、衝突パラメターが $b$ の衝突をする。衝突後の２個の円盤の $x,y$ 方向の速度を $\theta (=\sin^{-1}b/2a)$ の関数として求めなさい。ただし、衝突パラメターとは衝突前の２個の円盤の中心間のベクトルの $y$ 成分のことである。また，円盤の側面はなめらかであり，衝突時の摩擦力は無視できるものとする。

（ａ）衝突前により円盤１と円盤２の間にはどのような力が働くか。その方向を示しなさい。
（ｂ）衝突する瞬間にのみ撃力が働く。そこでその撃力を時間で積分した力積を $S$ とすれば、
　　衝突後の両円盤の速度ベクトル $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2$ の成分はどのように表わされるか。
（ｃ）衝突前の前後エネルギーが保存されるとすれば、どのような関係式が導かれるか。
（ｄ）上の問題（ｂ）と（ｃ）の結果を用いて、力積 $S$ を求めなさい。
（ｅ）求められた $S$ を用いて、円盤１と円盤２の衝突後の速度ベクトルを求めなさい。

（ａ）下図の力積ベクトル $\boldsymbol{S}$ および $-\boldsymbol{S}$ の方向。

（ｂ）
ベクトル方程式で書けば，
$m\boldsymbol{v}_1 = m\boldsymbol{u}-\boldsymbol{S}$
$m\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{S}$
となるから，これを成分に書き下ろして
$v_{1x}=u-\frac{S}{m}\cos\theta$
$v_{1y}=\frac{S}{m}\sin\theta$
$v_{2x}=\frac{S}{m}\cos\theta$
$v_{2y}=-\frac{S}{m}\sin\theta$

（ｃ）
$\frac{1}{2}m\boldsymbol{u}^2=\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_1}^2+\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}_2}^2$
すなわち，
$u^2={v_{1x}}^2+{v_{1y}}^2+{v_{2x}}^2+{v_{2y}}^2$