斜方投射の問題

放物運動の初歩的な問題です。
地上高　 $h$ 　の地点から初速　 $v$ 　で物体を投射するとき，投射地点直下からの水平到達距離　 $L$ 　を最大とする投射角　 $\theta$ 　（仰角）を求めよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。

この問題で，微積分および物理いずれの演習書を見ても,　 $L$ 　を単純に　 $\theta$ 　で微分する下記のシナリオによる解法でした。解答の単純さを見ると何か他のブレイクスルーがありそうな気がするのですが，どうなのでしょう？

軌道は，

$y=h+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$

$y=0$ 　のとき，　 $x=L$ 　により　 $L$ 　の2次方程式を解くと，

$L=\frac{v^2}{g}\cos\theta\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)$

$dL/d\theta=0$ 　によりちょっとした計算の後に，

$\left(\cos^2\theta-\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)\left(\sin\theta+\sqrt{\sin^2\theta+\frac{2gh}{v^2}}\right)=0$

となり，

$\theta=\sin^{-1}\frac{v}{\sqrt{2(v^2+gh)}}$

を得る。

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最終更新：2009年02月09日 21:15

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