半円筒の転がり振子（修正）

「物理のかぎしっぽ」掲示板で質問して，疑問が解決した。

http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=22973&mode2=preview_pc

なんと慣性モーメントの「平行軸の定理」の使い方をまちがっていました。＾＾；
修正の結果，理論値はぴったり0.53sec.で測定値に一致した！

（修正版）
中身の詰まった半円筒形を水平面上で転がり振動させたときの周期を求める。
手近にあったガラス製半円プリズムで実験したところ0.53sec. となり，理論値にぴったり一致した。

次の図のように設定する。

傾き角 $\theta$ のときの重心の座標 $(x,y)$ および重心の速度 $(\dot{x},\dot{y})$ は，

$x=R\left(\theta-\frac{4}{3\pi}\sin\theta\right)\qquad,\qquad\dot{x}=R\dot{\theta}\left(1-\frac{4}{3\pi}\cos\theta\right)$
$y=R\left(1-\frac{4}{3\pi}\cos\theta\right)\qquad,\qquad\dot{y}=R\dot{\theta}\cdot\frac{4}{3\pi}\sin\theta$

となる。重心の軌跡はサイクロイドである。なお，半円の重心は円中心から $4R/(3\pi)$ の距離にある。
(パップス－ギュルダンの定理)

一方，重心まわりの慣性モーメントは平行軸の定理により，

$I=\left(\frac{1}{2}-\frac{16}{9\pi^2}\right)mR^2$

である。ただし，円筒の慣性モーメント $mR^2/2$ を用いた。

初期条件を $\theta(0)=\theta_0\,\,\,,\,\,\,\dot{\theta}(0)=0$ とすると，エネルギー保存により

$\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2-\frac{4}{3\pi}mgR\cos\theta=-\frac{4}{3\pi}mgR\cos\theta_0$
すなわち，
$\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2\left(\frac{3}{2}-\frac{8}{3\pi}\cos\theta\right)=\frac{4}{3\pi}mgR(\cos\theta-\cos\theta_0)$