多変数関数のテーラー展開

電気双極子による電場の計算で出てくる近似について。
http://okwave.jp/qa4604299.html
なるほど，多変数関数のテーラー展開の公式があったんですね。勉強になりました。

$f(x, y) = f(a, b) + f_{x}(a, b) (x - a) + f_{y}(a, b) (y - b)$
　　　　　　　　 $+ (1/2!)[f_{xx}(a, b) (x - a)^2 + 2f_{xy}(a, b) (x - a)(y - b) + f_{yy}(a, b) (y - b)^2] + \cdots$

　　　　　 $= f(a, b) + [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)] f(a, b)$
　　　　　　　　 $+ (1/2!) [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)]^2f(a, b)$
　　　　　　　　 $+ (1/3!) [(x - a)(\partial/\partial x) + (y - b)(\partial/\partial y)]^3f(a, b)$
　　　　　　　　 $+ \cdots$

3変数以上でも同様で，特にベクトルを変数とするスカラー関数 $f(\boldsymbol{r})$ を定ベクトル $\boldsymbol{a}$ のまわりに展開すると，

$f(\boldsymbol{r}) = f(\boldsymbol{a}) + [(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]f(\boldsymbol{a})$
　　　　　 $+ (1/2!)[(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]^2f(\boldsymbol{a})$
　　　　　 $+ (1/3!)[(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\cdot\nabla]^3f(\boldsymbol{a})$
　　　　　 $+ \cdots$

したがって $|{\it\Delta}\boldsymbol{r}|\ll|\boldsymbol{r}|$ のとき，

$f(\boldsymbol{r}+{\it\Delta}\boldsymbol{r}) = f(\boldsymbol{r}) + {\it\Delta}\boldsymbol{r}\cdot\nabla f(\boldsymbol{r}) + O({\it\Delta}\boldsymbol{r}^2)$

例として，電気双極子 $\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{d}$ が $\boldsymbol{r}$ の位置につくる静電ポテンシャルは，

$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{kq}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2|}-\frac{kq}{|\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2|}$
　　　　 $\simeq kq\left[\left\{\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\boldsymbol{d}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right\}-\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\boldsymbol{d}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right\}\right]$
　　　　 $= -k\boldsymbol{p}\cdot\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = k\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}$

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最終更新：2009年01月06日 23:50

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