棒と円板の連成振子
OKWaveのQ&Aから。棒と円板を連結した連成振子の運動を解析する。


支点Dを原点に,水平右方向にx軸,鉛直下方にy軸をとると,円板の重心座標は,

x = r(2\sin\theta_1 + \frac{1}{2}\sin\theta_2)
y = r(2\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2)

速度成分は,

\dot{x} = r(2\dot\theta_1\cos\theta_1 +  \frac{1}{2}\dot\theta_2\cos\theta_2)
\dot{y} = -r(2\dot\theta_1\sin\theta_1 +  \frac{1}{2}\dot\theta_2\sin\theta_2)

速さ2乗は,

v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2\left\{4\dot\theta_1\;^2 + \frac{1}{4}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\}

以下,エネルギーの添字1は棒,2は円板をさす。

運動エネルギー

K_1 = \frac{2}{3}mr^2\dot\theta_1\;^2
K_2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\dot\theta_2\;^2
   = mr^2\left\{2\dot\theta_1\;^2 + \frac{3}{8}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\}

位置エネルギー

U_1 = -mgr\cos\theta_1
U_2 = -mgr\left(2\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2\right)

ラグランジアン

L = K_1 + K_2 - U_1 - U_2
 = mr^2\left\{\frac{8}{3}\dot\theta_1\;^2 + \frac{3}{8}\dot\theta_2\;^2 + \dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right\} + mgr\left(3\cos\theta_1 + \frac{1}{2}\cos\theta_2\right)

運動方程式は,

\frac{16}{3}\ddot\theta_1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)\cdot\ddot\theta_2 = -\sin(\theta_1 - \theta_2)\cdot\dot\theta_2\;^2 - \frac{3g}{r}\sin\theta_1
\cos(\theta_1 - \theta_2)\cdot\ddot\theta_1 + \frac{3}{4}\ddot\theta_2 = \sin(\theta_1 - \theta_2)\cdot\dot\theta_1\;^2 - \frac{g}{2r}\sin\theta_2

となった。Mathcadによる数値解析の結果得られた,円板の中心の軌跡を記す。Algodooでもシミュレートしてみたが,カオスの程度が深く,軌跡は傾向を示してはいるものの,ただちに数値解析結果から離れていく。
#ref error :画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

tatt61880さんから,シーンを大きく作れば精度が上がることを教えていただいた。なるほど,はじめしばらくは数値計算によく一致して,上の解析に間違いがないことにようやく自信がもてた。
http://www.algodoo.com/algobox/details.php?id=33742

Algodooによるシミュレーション


Interactive Physics によるシミュレーション。

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最終更新:2009年11月18日 20:38