計量テンソルによるラプラシアン(覚書)(2008.12.01)

曲線座標の計量テンソルを g_{ij} ,その行列式を g=\parallel g_{ij} \parallel とすれば,共変微分を用いて

\bigtriangleup = g^{ij}\bigtriangledown_i \bigtriangledown_j = g^{ij}\partial_i\partial_j - g^{ij}\Gamma^k_{ij}\partial_k

と表せる。ここに,公式

g^{ij}\Gamma^k_{ij} = -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_l(\sqrt{g} g^{lk})

を用いると,

\bigtriangleup = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_i(\sqrt{g} g^{ij} \partial_j)

となる。曲線座標におけるラプラシアンを求める簡明な公式といえる。

上の結果を,極座標 (r,\theta,\phi) に適用してみる。

g_{rr}=1,\,\,g_{\theta\theta}=r^2,\,\,g_{\phi\phi}=r^2\sin^2\theta,\,\,g^{rr}=1,\,\,g^{\theta\theta}=\frac{1}{r^2},\,\,g^{\phi\phi}=\frac{1}{r^2\sin^2\theta}

だから,\sqrt{g}=r^2\sin\theta となり,

\bigtriangleup = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left[\partial_r(r^2\sin\theta\partial_r)+\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta)+\partial_\phi\left(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\phi\right)\right]
  = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left(2r\sin\theta \partial_r+r^2\sin\theta {\partial_r}^2 + \cos\theta \partial_\theta+\sin\theta {\partial_\theta}^2+\frac{1}{\sin\theta}{\partial_\phi}^2\right)
  = {\partial_r}^2 + \frac{2}{r}\partial_r + \frac{1}{r^2}{\partial_\theta}^2 + \frac{\cot\theta}{r^2}\partial_\theta + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\phi}^2

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最終更新:2008年12月04日 10:45