平行軸の定理

平行軸の定理(2008.11.27)

円柱(質量 $M$ ，半径 $r$ ，高さ $h$ )の側面に垂直な中心軸まわりの慣性モーメント

(1) 円板の中心を通り円板に平行な軸に関する慣性モーメントは， $(1/4)mr^2$
(2) 平行軸の定理　 $I=I_C+M{R_G}^2$ 　ただし， $I_C$ は重心まわりの慣性モーメント，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $M$ は剛体の質量， $R_G$ は軸から重心までの距離
を用いる。
円柱の重心を原点として軸方向に $x$ 軸をとる。
座標 $x$ において円柱を輪切りにして得られる厚さ $dx$ の円板について，質量 $dm=Mdx/h$ として，慣性モーメントは
$dI = \frac{1}{4}dm\cdot r^2 + dm \cdot x^2$
したがって，円柱全体について積分すれば
$I = \frac{M}{h} \int_{-h/2}^{h/2} \left(\frac{1}{4}r^2+x^2\right)dx = M\left(\frac{1}{4}r^2+\frac{1}{12}h^2\right)$