数学的な説明


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ここではEuler Getterの数学的な側面を説明する。
もちろんゲームをプレイする分には理解しておく必要はない。
本家の説明は英語であるが大変分かりやすい。

盤面の取り決めついて


「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
という Euler Getter の盤面の取り決めは、
盤面のトポロジーを(実)射影平面 \mathbf{P}^2 にするための取り決めである。

ここでは、射影空間 \mathbf{P}^n について紹介する。
これは数学において大切な空間の1つである。

まず、「ユークリッド空間」について確認しておこう。
これは点や直線,平面といった普通の平らな空間のことである。
一般に n 次元ユークリッド空間 \mathbf{R}^nn 個の実数の組の集合と定める。
私たちの住むこの空間も (x, y, z) という3つの実数の組と位置が対応しており、
3次元ユークリッド空間 \mathbf{R}^3 だと見なすことが出来る。

n + 1 次元ユークリッド空間 \mathbf{R}^{n+1} において
原点を通る直線の集合のことを n 次元射影空間 \mathbf{P}^n と呼ぶ。
例えば、\mathbf{R}^1 はただの直線であるから、
原点を通る直線は1本しかない。
すなわち、 \mathbf{P}^0 は1点である。

1つ次元を上げてみる。
平面 \mathbf{R}^2 の中で原点を通る直線の集合が \mathbf{P}^1 である。
原点中心の円を考えると、このような直線が常にこの円上の2点を通ることが分かる。

したがって図のように半円上の点と直線が1対1で対応している。

境界の2点は同じ直線を定めるので同じ点だと見なせば、
結局 \mathbf{P}^1 が円であることが分かる。

もう1 つ次元を上げてみる。
先と同様にユークリッド空間 \mathbf{R}^3 内で
原点を通る直線は半球上の点と対応する。
ここで境界は対点が同一視された円である。
これが \mathbf{P}^2 であるが、この図形もまた球面になるだろうか?


試しに \mathbf{P}^2 のオイラー数を計算してみる。
オイラー数とは図形に対して定まる量で、例えば多面体の場合、
頂点の数 - 辺の数 + 面の数
を計算したもののことである。
通常の多面体について計算するとその値は常に 2 となる。
この事実を オイラーの多面体定理 などと呼ぶが、
実は多面体とは球面をセル分割した図形であり、
2 というのは球面のオイラー数なのだ。

そこで下の図のように \mathbf{P}^2 もセルに分割し、
同一視に注意しながら頂点、辺、面の数の交代和を計算してみる。

答えは2 - 2 + 1 = 1 である。
様々なセル分割が同じ値1 を導くことを確認してほしい。
この計算は \mathbf{P}^2 が球面と異なる図形であることを示している。


こうして \mathbf{P}^2 が新しい図形であることが確認できたわけだが、
オイラー数が奇数であることはEuler Getter において重要である。
なぜなら2 人で \mathbf{P}^2 のオイラー数を取り合えば必ず勝負がつくからである。
このことがEuler Getter における盤面の取り決め
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
を採用する理由なのである。


決着について



偶数マスEuler Getterが先手必勝であること


2012年2月、数学者のChristian Schnellによって偶数マスEuler Getterが先手必勝であることが示された。