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ここではEuler Getterの数学的な側面を説明する。
もちろんゲームをプレイする分には理解しておく必要はない。
[[本家の説明>http://www.sci.kagoshima-u.ac.jp/~yasuda/Takehiko_Yasudas_homepage/Euler_Getter.html]]は英語であるが大変分かりやすい。
**盤面の取り決めついて
----
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
という Euler Getter の盤面の取り決めは、
盤面のトポロジーを(実)射影平面 $$\mathbf{P}^2$$ にするための取り決めである。
ここでは、射影空間 $$\mathbf{P}^n$$ について紹介する。
これは数学において大切な空間の1つである。
まず、「ユークリッド空間」について確認しておこう。
これは点や直線,平面といった普通の平らな空間のことである。
一般に $$n$$ 次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^n$$ を $$n$$ 個の実数の組の集合と定める。
私たちの住むこの空間も $$(x, y, z)$$ という3つの実数の組と位置が対応しており、
3次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^3$$ だと見なすことが出来る。
$$n + 1$$ 次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^{n+1}$$ において
原点を通る直線の集合のことを $$n$$ 次元射影空間 $$\mathbf{P}^n$$ と呼ぶ。
例えば、$$\mathbf{R}^1$$ はただの直線であるから、
原点を通る直線は1本しかない。
すなわち、 $$\mathbf{P}^0$$ は1点である。
1つ次元を上げてみる。
平面 $$\mathbf{R}^2$$ の中で原点を通る直線の集合が $$\mathbf{P}^1$$ である。
原点中心の円を考えると、このような直線が常にこの円上の2点を通ることが分かる。
#image(p1.png,width=210,height=200)
したがって図のように半円上の点と直線が1対1で対応している。
#image(p1_2.png,width=210,height=200)
境界の2点は同じ直線を定めるので同じ点だと見なせば、
結局 $$\mathbf{P}^1$$ が円であることが分かる。
#image(p1_circ.png,width=500,height=150)
もう1 つ次元を上げてみる。
先と同様にユークリッド空間 $$\mathbf{R}^3$$ 内で
原点を通る直線は半球上の点と対応する。
ここで境界は対点が同一視された円である。
これが $$\mathbf{P}^2$$ であるが、この図形もまた球面になるだろうか?
#image(p2.png,width=380,height=150)
試しに $$\mathbf{P}^2$$ のオイラー数を計算してみる。
オイラー数とは図形に対して定まる量で、例えば多面体の場合、
頂点の数 - 辺の数 + 面の数
を計算したもののことである。
通常の多面体について計算するとその値は常に 2 となる。
この事実を&bold(){オイラーの多面体定理}などと呼ぶが、
実は多面体とは球面をセル分割した図形であり、
2 というのは球面のオイラー数なのだ。
そこで下の図のように $$\mathbf{P}^2$$ もセルに分割し、
同一視に注意しながら頂点、辺、面の数の交代和を計算してみる。
#image(cell.png,width=200,height=150)
答えは2 - 2 + 1 = 1 である。
様々なセル分割が同じ値1 を導くことを確認してほしい。
この計算は $$\mathbf{P}^2$$ が球面と異なる図形であることを示している。
こうして $$\mathbf{P}^2$$ が新しい図形であることが確認できたわけだが、
オイラー数が奇数であることはEuler Getter において重要である。
なぜなら2 人で $$\mathbf{P}^2$$ のオイラー数を取り合えば必ず勝負がつくからである。
このことがEuler Getter における盤面の取り決め
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
を採用する理由なのである。
**決着について
----
ここではEuler Getterの数学的な側面を説明する。
もちろんゲームをプレイする分には理解しておく必要はない。
[[本家の説明>http://www.sci.kagoshima-u.ac.jp/~yasuda/Takehiko_Yasudas_homepage/Euler_Getter.html]]は英語であるが大変分かりやすい。
**盤面の取り決めついて
----
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
という Euler Getter の盤面の取り決めは、
盤面のトポロジーを(実)射影平面 $$\mathbf{P}^2$$ にするための取り決めである。
ここでは、射影空間 $$\mathbf{P}^n$$ について紹介する。
これは数学において大切な空間の1つである。
まず、「ユークリッド空間」について確認しておこう。
これは点や直線,平面といった普通の平らな空間のことである。
一般に $$n$$ 次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^n$$ を $$n$$ 個の実数の組の集合と定める。
私たちの住むこの空間も $$(x, y, z)$$ という3つの実数の組と位置が対応しており、
3次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^3$$ だと見なすことが出来る。
$$n + 1$$ 次元ユークリッド空間 $$\mathbf{R}^{n+1}$$ において
原点を通る直線の集合のことを $$n$$ 次元射影空間 $$\mathbf{P}^n$$ と呼ぶ。
例えば、$$\mathbf{R}^1$$ はただの直線であるから、
原点を通る直線は1本しかない。
すなわち、 $$\mathbf{P}^0$$ は1点である。
1つ次元を上げてみる。
平面 $$\mathbf{R}^2$$ の中で原点を通る直線の集合が $$\mathbf{P}^1$$ である。
原点中心の円を考えると、このような直線が常にこの円上の2点を通ることが分かる。
#image(p1.png,width=210,height=200)
したがって図のように半円上の点と直線が1対1で対応している。
#image(p1_2.png,width=210,height=200)
境界の2点は同じ直線を定めるので同じ点だと見なせば、
結局 $$\mathbf{P}^1$$ が円であることが分かる。
#image(p1_circ.png,width=500,height=150)
もう1 つ次元を上げてみる。
先と同様にユークリッド空間 $$\mathbf{R}^3$$ 内で
原点を通る直線は半球上の点と対応する。
ここで境界は対点が同一視された円である。
これが $$\mathbf{P}^2$$ であるが、この図形もまた球面になるだろうか?
#image(p2.png,width=380,height=150)
試しに $$\mathbf{P}^2$$ のオイラー数を計算してみる。
オイラー数とは図形に対して定まる量で、例えば多面体の場合、
頂点の数 - 辺の数 + 面の数
を計算したもののことである。
通常の多面体について計算するとその値は常に 2 となる。
この事実を&bold(){オイラーの多面体定理}などと呼ぶが、
実は多面体とは球面をセル分割した図形であり、
2 というのは球面のオイラー数なのだ。
そこで下の図のように $$\mathbf{P}^2$$ もセルに分割し、
同一視に注意しながら頂点、辺、面の数の交代和を計算してみる。
#image(cell.png,width=200,height=150)
答えは2 - 2 + 1 = 1 である。
様々なセル分割が同じ値1 を導くことを確認してほしい。
この計算は $$\mathbf{P}^2$$ が球面と異なる図形であることを示している。
こうして $$\mathbf{P}^2$$ が新しい図形であることが確認できたわけだが、
オイラー数が奇数であることはEuler Getter において重要である。
なぜなら2 人で $$\mathbf{P}^2$$ のオイラー数を取り合えば必ず勝負がつくからである。
このことがEuler Getter における盤面の取り決め
「点対称な位置にある縁のマスは同じマスと見なす。」
を採用する理由なのである。
**決着について
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**偶数マスEuler Getterが先手必勝であること
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2012年2月、数学者のChristian Schnellによって偶数マスEuler Getterが先手必勝であることが示された。