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ここでは管理人の数学勉強記録を公開しています。
人に見られているという意識が、成長を促すと考え公開しています。

2008/11/21

等長変換の定義

幾何学の本を読む。
とりあえずぱらぱらと読んだあと、最初から丁寧に読んでみる。
今日は平面上の等長変換の定義とその証明を読んでみた。
最初の方なので簡単だった。
等長変換についての証明だが、不動点が1点2点、3点以上の場合にわけて証明していた。
まず2点の場合は直線に対する鏡映となる、これを関数化して移動後の点を現す関数fとする。
一直線上にない3個の不動点O,P,Qがある場合は、2点の場合で起こりえる事態を含んでいるので、適当な点Xにたいしx=f(X)として、Ox=OX Px=PXが成立するが,Qx=QXが成立しない。
よってfに制限をかけた関数f'(X)=Xがどの点に対しても成り立つ。
3点の場合は恒等変換idとなる。
不動点が一点の場合は回転となるが、これも関数fを使った背理法で求める。
a度の回転を表す関数r(-a)と、不動点が一個の場合の正体不明な関数φを考え、r(-a)φは等長変換の条件からfかidにしかならず、fでは矛盾が起こる事を使って証明していた。
結局平面の等長変換には回転と鏡映と恒等写像しかないという結論しか使わないので特に意味もないけどこういう証明と付き合うのも結構楽しい。

2008/11/25
幾何学の本の続きを読む。
前回と同じのりで空間内の等長変換を注目すべき不動点が3,2,1個の場合で証明。
3個なら鏡映、2個なら軸による回転、1個なら点鏡映。
その後群論の基礎定義となり群について記述、群の応用として空間内で自身を自身に重ねる写像の問題に移った、正三角錐の対象性に関する異数が24もあるなんて知らなかった。
あと組み合わせの本を少々。フェナボッチ数の発展について少々読むもぱらぱらなので理解できず。

200812/07
幾何学の本の続き。
今日はユークリッド空間の集合論的構成を読む。
ユークリッド空間の条件を満たす集合と公理を満たす全てのユークリッド空間は、全て同形になっているので一つのユークリッド空間について調べれば全てのユークリッド空間について調べたのと同じになるという内容だった。厳密に深入りすれば別だが概論だけならそんなに難しくは無い。

2008/12/29
カオス理論の本を読む。
一次元の時点で非常に面白い。
吸着点に排斥点、周期解に陥る部分。
2次元写像におけるサドルの概念はすばらしいの一言。
線形写像を通じて分析できる系が見事に纏められていた。
1次元の時の吸着点と排斥点が縦横に合わさった点や、その点が直線に拡張された。
原点を通る2本の直線に対し、点が片方の直線に近づく、片方の直線から遠ざかるによって線形写像を連続で適用することが綺麗に纏まる。
高校でやった行列の固有値で分析できるというのが痛快。
後は独学なのでどこか間違ってないか不安。
ついでに正N角形の作図紹介ページを見る。
正15角形や17角形くらいまでは楽しめるが、それ以上になると作図はめんどくさくなるので理論の世界でやったほうが楽しい。
作図法に感心するのは楽しいけど、内容的には漫画を見ているのとあまり変わらないなと思ったり。

2009/1/2
今日もカオス理論の勉強。
2次元写像でサドルから出る安定多様体と不安定多様体が存在し、もしこの2つが交点を持てば無限個の交点が出来る。
という理論を勉強。
この無限個の交点がカオスの発生源なのかしら?
それにしても今読んでいる本は初学者にも理解しやすくてよい。
1次元の写像を分析して吸着点と排斥点の概念を導入。
写像を表す数式のパラメータを変化させて吸着点に引き寄せられる線分の集合や周期解をもとめ、それらの隙間からカオスが立ち上ってくる様子が見事に解説されている。
1次元の学習成果を使い、2次元へいき、安定多様体と不安定多様体を導入。
安定多様体と不安定多様体からサドルを作成し、この3つを使いカオスを編み上げる手法が解説されている。
非常に分かりやすい。
勉強していたの疑問
平面状にサドルが複数あるとき、別々のサドルからでる安定多様体と不安定多様体は交点を持つのか持たないのか?
持つときは排斥としてでて、不安定多様体の道路を通って、安定多様体の上を無限解交差しながら別のサドルへ吸着されるということに?

2008/1/5
今日は下図の問題について熟考。
実は平面に対する写像において、安定多様体と不安定多様体がなぜ曲線になるのかよく分かってない。
多分本を順当に読んでいけば自然に解消されると思う。

まずカオスを下図のように閉じ込めることはできるか?
閉じ込められるなら、この玩具を池と名づけたい。
ちなみに矢印は安定多様体と不安定多様体。
次は成立するサドルの種類。
下図のサドルは成立しえるか?

最後はカオスにおける吸着点と排斥点とサドルの3種類の点の組み合わせについて。
可能な組み合わせはどれだけあるか?
特に、平面にそれらの点を無限に詰め込むとどうなるかがとても気になる?




多様体

昔々、数学が空間以外を知らなかった時代のこと、集合あれ、関係あれと偉い人たちはいいました。
するとあれよあれよと無数の数学が生まれました。
集合から空間を作り出し、ユークリッド以外の空間を作れるようになりました。
集合で世界を作っているうちに、位相空間や別の空間への変形も考えられるようになりました。

いろんな物を作りましたが、よく考え直してみれば全部元を正せば集合から作ったものですから、集合に戻って考えれば同じようなものです。
いろんなものがどこまで同じか、なんて事を調べたり表現するために同相写像や群準同形写像なんて言葉を作ったりしてます。

集合で作ったものですから、空間の関係も集合に矛盾しないようにしないといけません。
全ての組み合わせを調べたりしたくもなります。
偉い人は直積なんて名前をつけました。
なんだか大変そうですが、これくらい現代数学では基礎教養。
大変だなと思うのですが、楽しかったりもします。



2009/3/1
アフィン空間を使えばほとんどの3次元までの幾何の問題は4*4行列に置き換えることができる。
便利なもの作ったよな。


2009/3/4
穿孔多面体について、遊んでみる見る。
http://www5d.biglobe.ne.jp/~MY55029/subD.htm
を参考にした。
参考ページの大菱形立方八面体と小菱形立方八面体

大菱形立方八面体と穿孔を施した正四角台塔柱
に変えてみたり、内側に使用する形をガリレオの多面体に変えてみたりといった小手先の変形しか思いつかなった。
穿孔多面体を結構面白い玩具だ。
どんな形があるか探すのはルービックキューブの解を見つけるのに似ている。
とはいえ所詮有限群の操作。
使っていい図形は有限だしごりごり力押しで探せばいいんだけどね。
そういう遊び方だと本格的で玩具にならないけどちょっとだけ考えてみたり。
内側に正多角形の板しか使わないので、板を一枚使うたびに、外枠になる多面体内部の体積を一定量穴が占有していくから、有限の図形について調べるだけでよい。
そして一頂点に集まることの出来る面で使い物になるのは有限。
後は力押しで探せばいいだけと、行列演算の実数解で候補を絞るのもありかな?
所でこの穿孔、フラクタクルに拡張すれば無限に複雑な穿孔が可能かな?
どうもフラクタクル図形の特殊解に思えてならないのだけど?
等距離にある点を結ぶ作業だよね?



2009/3/7
ケプラーの多面体に球の反転を施しても回転対象性は保てるな。
他に回転対象性を保つ写像ってなんだろ?
直線をフラクタクルや曲線にしたりといった小手先は除外するとして?
何らかの関数で頂点群の写像を取ればいいのかな?
といっても趣味の数学な上に低レベルと笑われそうだけど。
4次元以上とかになったら少しは恥ずかしくない?

3次元の手順としてはこんな感じかな?
回転対象が同じもしくは商群になっている、サイズの違うケプラーの多面体を中心を同じにして並べる。
後は多面体の中心と、それぞれの多面体の頂点を一回しか通らない曲線を求める。
その曲線を回転してコピーしていけば、複数のケプラーの多面体を一まとめに扱うことが出来る?