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Problem 2 「偶数のフィボナッチ数」 †

フィボナッチ数列の項は前の2つの項の和である. 最初の2項を 1, 2 とすれば, 最初の10項は以下の通りである.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
数列の項の値が400万以下の, 偶数値の項の総和を求めよ.

解説

この問題の本当に賢い解法はリンク先をご覧ください。
http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/lect/ProLang/org/euler-002.html
私の解説よりずっと高度な解説をしています。


初等的解法


フィナボッチ数列を眺めると
1   1  2  3  5  8 13 21 34 55 89 144 
奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶
と奇奇偶とループしていることがわかります。

これはフィナボッチ数列の規則から言って当然のことで。
Fi+2=Fi+Fi+1
偶数=奇数+奇数
奇数=奇数+偶数
奇数=奇数+奇数
偶数=偶数+偶数
です。
F3=F1+F2
偶数=奇+奇
F4=F3+F2
奇数=偶数+奇数
F5=F4+F3
奇数=奇数+偶数
そして
F6=F5+F4で
偶数=奇数+奇数
と偶数と奇数は3周期でループします。

よってフィナボッチ数列の
3,6,9,,,3n個めと3の倍数だけ計算していけばいいことがわかります。

まず最初はF3は特別で。
F3=F1+F2

F6は数式を展開するとフィナボッチ数列の定義より
F6=F5+F4=(F4+F3)+(F3+F2)=((F3+F2)+F3)+(F3+F2)=3F3+2F2となります。
F9=F8+F7=(F7+F6)+(F6+F5)=((F6+F5)+F6)+(F6+F5)=3F6+2F5
これは一般的な規則で

F6=3*F3+2*F2=3*F(6-3)+2*F(6-4)ですね。
F9=3*F6+2*F5
F12=3*F9+2*F8
F15=3*F12+2*F11
,,,,
と単調に続いていきます。
よって漸化式は
F(3n+3)=3*F(3n)+2*F(3n-1)となると分かります。


計算に必要なF(3n-1)はF5の場合で実験すると
F5=F4+F3=(F3+F2)+F3=2*F3+F2

となります。
一般の場合は
F(3n-1)=2F(3n-3)+F(3n-4)
F(3n)=3*F(3n-3)+2*F(3n-4)

この漸化式を計算してF(3n)を足し合わせていけば答えとなります。

実験してみましょう。
F3=2 F2=1は既知とします.

F6 =3*F3+2*F2  F5 =2*F3+F2
F9 =3*F6+2*F5  F8 =2*F6+F5
F12=3*F9+2*F8  F11=2*F9+F8
,,,

と単調に計算が進みます。
上の行から次の行が決まることが簡単に確認できるでしょう。