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堀江 伸一

問題
三角形の中にあり、それぞれの円が三角形の各辺と一か所で接し
互いに外接する等円の中心を求める問題。

図をご覧ください。
三角形ABCが与えられたとき、条件を満たす円の中心DPMを求めます。

問題詳細。
任意の三角形ABCが与えられたとき
三角形ABCの中に等円DPMがあり
辺ABと円Dが接し、辺BCと円Pが接し、辺ACと円Mが接し、各円は等円で互いに外接しこれ以外に接するものも
交差するものもないという条件でDPMの解集合を求めよ。



この問題は等円が外接しているのでDP=PM=MDで円のサイズはrです。
DとABの距離はrとなります。

答えの組を一つ探してみましょう。
辺AB上にD、辺BC上に点P、辺CA上に点Mを取ります。
DPMが答えを探す手掛かりとなります。
三角形ABCの内心をRとします。
Rを中心に三角形DPMを縮小していくとこの縮小の途中で答えが見つかります。

まずDとABの距離をLとし縮小の過程でLは0から段々増加します。
一方DPの長さは0に近づきます。
Rを中心に縮小するとABとDの距離=BCとPの距離=CAとMの距離を維持できます。
これは円D、P,Mが三角形の辺と接するための必要な条件です。

図を見てもわかる通り縮小の途中で2L=DP=PM=MDとなる瞬間があります。
答えの円の中心DPMは正三角形を描きますから、DP=PM=MDであることが答えとして必要です。
これは縮小によって保たれます。
また円DとABは接しますからL=rとなり図の答えを満たします。
そしてこれは三角形ABCの辺上にとった正三角形DPMはどれでもかならず縮小の過程で答えとなる瞬間が現れます。

そしてどれだけ縮小すれば良いかは三角形DPMの辺の長さで決まります。
よってここでは三角形ABCの上に書ける三角形DPMの性質について研究すれば良いと分かります。

この性質について調べるのに
三角形ABCの形だけが決まればいいのでここは向きや位置やサイズは重要ではありません。
点Aを原点に、点BをX軸上に取り、三角形ABCのABの長さを1になるように縮小します。
この三角形の上で、ADの長さとDの位置から決まる正三角形DPMの辺の長さの関係をグラフにして調べます。
X軸にADの長さ、Y軸にDPの長さを取ってグラフを見ればかなり多くの性質がわかるはずです。
ここから性質を見つけることが出来ればもとの三角形ABCにおけるDPMの解集合が判明します。
よって問題2を解くことがこの問題の答えを見つけることになります。


問題2
一度仕切り直して考えます。
三角形ABC、A(0,0)、B(1,0)、C(r*cosΘ,r*sinΘ)のそれぞれの辺上に一点ずつ取り正三角形を描けるかという問題を考えます。
正三角形の点をLMNとしLが決まった時のrの長さを求めます。
図にすると以下のようなイメージです。
赤線はNの位置が決まった時MNの辺の長さ2rを表します。
以下はYahoo知恵袋でこの問題について質問したところmath_yumenomatayumeさんから頂いた答えに基づいております。
そのままのせます。


math_yumenomatayumeさんの回答


正三角形の頂点を、BC、CA、AB上に、それぞれ、L、M、Nとしています。
A(0、0)、B(1、0)、∠CAB=∠A、∠CBA=∠B、∠LNB=α、
AN=x、正三角形の1辺を2rとします。

△LNBにおいて、正弦定理より、
LN/sinB=NB/sin∠NLB、
NB=1-x、LN=2r、∠NLB=180°-(B+α)から、
sin(B+α)=(1-x)sinB/2r…①

△ANMにおいて、正弦定理より、
MN/sinA=AN/sin∠AMN、
AN=x、MN=2r、∠MNL=60°、∠ANM=120°-α、∠AMN=180°-(120°+A-α)から、
sin(120°+A-α)=xsinA/2r…②

加法定理から、①②は、
sinBcosα+cosBsinα=(1-x)sinB/2r
sin(A+120°)cosα-cos(A+120°)sinα=xsinA/2r
cosα、sinαを連立で解いて、
sin²α+cos²α=1に代入すると、

{(1-x)sinBcos(A+120°)+xcosBsinA}²+{(1-x)sinBsin(A+120°)-xsinBsinA}²
=4r²sin²(A+B+120°)

図の赤い双曲線になります。(変域は省略)


以下私の解説に戻ります。

{(1-x)sinBcos(A+120°)+xcosBsinA}²+{(1-x)sinBsin(A+120°)-xsinBsinA}²
=4r²sin²(A+B+120°)
これがxが決まった時の答えとなります。

右辺よりA+B+120=180度の場合答えが1つか二つか0個かとなります。
この場合はまだ思考中です。

A+B=60度でない場合、右辺より左辺は必ず答えがあります。
Xの値(Lの位置)を固定して点Mを動かした場合、点Lの軌跡は直線となりその直線は直線ACを60度回したものとなります。
Mを動かす過程でどこかでBC上に点Lがきます。
(角C=120どの場合点Lの軌跡がBCと平行になるのでこの論法は使えません)
よってNの位置が決まれば対応する正三角形MNLは一つだけ決まると判明します。
ここで問題となるのは正三角形NMLが必ず描けるとしても、辺BC、辺CA上に点がない。
直線BC、CA上にMとLはあるが辺AC,BC上にない場合です。
辺AB BC上に点があるとは
条件A(r<=NA∨r<=NC)∧(r<=NB∨r<=NC)となります。

ここで注目すべきはLがAから出発してBに近づくと、非常に分かりやすい性質としてMもLも直線状を一方通行に動き後戻りしません。
よってxに解がある範囲は条件Aより定まる0<a=<x=<b<1となります。
このaからbの範囲が答えであり、解rが大きいところでは内心に近く解rが小さいところでは内心から遠いおわん型の一部。
解の形はそのようなものとなります。