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問い324

以下の問題があります。

3x3xn の塔を 2x1x1 のブロックで埋める場合の数を f(n) とする。
ブロックは好きな方向に回転することができる;しかし、塔自身を回転・反転等させたものは区別して数える。
たとえば(q=100000007 として):
f(2) = 229,
f(4) = 117805,
f(10) mod q = 96149360,
f(10^3) mod q = 24806056,
f(10^6) mod q = 30808124.
f(10^10000) mod 100000007 を求めよ。


問題の原文サイトはこちら。
http://projecteuler.net/problem=324
プロジェクトオイラーというサイトで数学の問題をプログラムで解こうという練習問題を扱ったサイトです。


自分で考え出した解法

自前アルゴリズムでこの問題を解きました。
今のところ手元のパソコンに6時間30分ほど計算させて正しい答えを出せるコードまで高速化できましたがそこから先に進めていません。
1分ルール(プロジェクトオイラーに掲載されている問題は正しいコードを書けば一分以内で問題の答えが出るというルールがある)等夢のまた夢ですね。
nCrとパスカルの三角形より高度な授業を受けたことがない私ではここら辺が限界なのかもしれません。


この問題ですが何か非常に高速な漸化式があるのでしょうか?
数式を思いつかないのでとりあえず動的計画法で解こうとしてみました。

まず1段のブロックタワーを作り、1段を2つ繋げて2段を作ります。
2段を2つ結合で4段、4段を2つ結合して8段、8段を2つ結合して16段、、として10^10000段に近い2^nの段数まで到達し後は10^10000を2進数に変換2進数で1のついたブロックの塊だけを結合して組み合わせ数を掛け算していけば規則的に計算できます。

例えば10段のブロックタワーで計算するなら
10を2進数表示すると1010で2段と8段の結合となります。
まず最初に2段が求まった時2段で底が凸凹してないものの組み合わせを答えの計算用に設定します。
次に8段のブロックタワーが出来た時、答えとして設定した2段の上に8段でのせれるものをのせその組み合わせ数を計算します。
後は10段が出来たので上面が凸凹してない物の組み合わせ数を答えとして出力します。


速度は遅いが正しい答えを出すコードも掲載しておきます。
コード記述者情報
小学校の算数までしかできない。ガイキチ。頭おかしい。ひたすらキモイやつ。大勢からの笑い物と創価学会員の間で評判の堀江伸一こと私によるコードです。

今回の問題について解法とコードは自前で考えたものであることを記述しておきます。
他の評判についてはともかく噂どおり小学校の算数までしかできない人間であるかどうかはコードを読んだ方の判断にお任せします。

正答した後に知ったのですが正しいコードは漸化式から一般項を導き出して一瞬で解くそうです。



少しだけ独り言
知恵袋でBAを獲得しました
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14110242764?fr=chie_my_notice_ba
勉強が不得手な私がこの質問でBAなんかもらってもよいのだろうか?



以下自前コード

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<bitset>
#include<iostream>
 
const int bitSize=34000;
unsigned long long int memo[2][512][512];
std::bitset<bitSize> bits10no10000zyo;
unsigned long long int perm[2][512][512],ans[512],nextAns[512];
const unsigned long long int mod=100000007;
 
 
void my_add(std::bitset<bitSize> add){
   int c=0;
       for(int i=0;i<bitSize;i++){
               int a=bits10no10000zyo.test(i);
               int b=add.test(i);
               bits10no10000zyo.set(i,(a+b+c)%2);
               c=(a+b+c)>1;
       }
}

void mult10(){
        std::bitset<bitSize> temp=bits10no10000zyo<<3;
        bits10no10000zyo=bits10no10000zyo<<1;
        my_add(temp);
}
 
void seedPermSet(int seedSet[3][3],int r,int c){
       if(r==3){
               int d=1,hashD=0,hashU=0;
               for(int i=0;i<3;i++){
                       for(int j=0;j<3;j++){
                               hashD+=d*(seedSet[i][j]==0);
                               d*=2;
                       }
               }
               d=1;
               for(int i=0;i<3;i++){
                       for(int j=0;j<3;j++){
                               hashU+=d*(seedSet[i][j]==2);
                               d*=2;
                       }
               }
               perm[0][hashD][hashU]++;
       }else if(c==3){
               c=0;
               r++;
               seedPermSet(seedSet,r,c);
       }else{
               int c1 = c+1;
               if(seedSet[r][c]>0){
                       seedPermSet(seedSet,r,c1);
               }else{
                       if(c<2&&seedSet[r][c+1]==0){
                               seedSet[r][c  ]=1;
                               seedSet[r][c+1]=1;
                               seedPermSet(seedSet,r,c1);
                               seedSet[r][c  ]=0;
                               seedSet[r][c+1]=0;
                       }
                       if(r<2&&seedSet[r+1][c]==0){
                               seedSet[r  ][c]=1;
                               seedSet[r+1][c]=1;
                               seedPermSet(seedSet,r,c1);
                               seedSet[r  ][c]=0;
                               seedSet[r+1][c]=0;
                       }
                       seedSet[r][c]=2;
                       seedPermSet(seedSet,r,c1);
                       seedSet[r][c]=0;
                       seedPermSet(seedSet,r,c1);
               }
               
       }
}
 
 
int main(){
       memset(memo,0,sizeof(memo));
       bits10no10000zyo=10;
       for(int i=1;i<10000;i++){
               mult10();
       }
       
       int seedSet[3][3];
       memset(perm,0,sizeof(perm));
       memset(ans,0,sizeof(ans));
       
       
       
       memset(seedSet,0,sizeof(seedSet));
       seedPermSet(seedSet,0,0);
       bool isFirst=true;
       for(int i=0;i<33300;i++){
               printf("2^%d段を計算",i);
               int next=(i+1)%2;
               int now=i%2;
               if(bits10no10000zyo.test(i)){
                       printf("ok");
                       memset(nextAns,0,sizeof(nextAns));
                       if(isFirst==true){
                               isFirst=false;
                               for(int j=0;j<512;j++){
                                       nextAns[j]=perm[now][0][j];
                               }
                       }else{
                               for(int j=0;j<512;j++){
                                       for(int k=0;k<512;k++){
                                               nextAns[k]+=(ans[j]*perm[now][j][k])%mod;
                                               nextAns[k]%=mod;
                                       }
                               }
                       }
                       memcpy(ans,nextAns,sizeof(nextAns));
               }
               
               memset(perm[next],0,sizeof(perm[next]));
               for(int j=0;j<512;j++){
                       for(int k=0;k<512;k++){
                               if(perm[now][j][k]==0)continue;
                               for(int l=0;l<512;l++){
                                       perm[next][j][l]+=(perm[now][j][k]*perm[now][k][l])%mod;
                                       perm[next][j][l]%=mod;
                               }
                       }
                }
 
                printf("\n");
        }
        std::cout<<"10^10000段の答えは"<<ans[0];
}