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プロジェクトオイラー解説問2 - (2014/01/07 (火) 03:34:08) の1つ前との変更点

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+----
+*Problem 2 「偶数のフィボナッチ数」 †
+フィボナッチ数列の項は前の2つの項の和である. 最初の2項を 1, 2 とすれば, 最初の10項は以下の通りである.
 
+1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
+数列の項の値が400万以下の, 偶数値の項の総和を求めよ.
+----
+**解説
+この問題の本当に賢い解法はリンク先をご覧ください。
+http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/lect/ProLang/org/euler-002.html
+私の解説よりずっと高度な解説をしています。
+
+
+***初等的解法
+
+フィナボッチ数列を眺めると
+1   1  2  3  5  8 13 21 34 55 89 144
+奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶
+と奇奇偶とループしていることがわかります。
+
+これはフィナボッチ数列の規則から言って当然のことで。
+Fi+2=Fi+Fi+1
+偶数=奇数+奇数
+奇数=奇数+偶数
+奇数=奇数+奇数
+偶数=偶数+偶数
+です。
+F3=F1+F2
+偶数=奇+奇
+F4=F3+F2
+奇数=偶数+奇数
+F5=F4+F3
+奇数=奇数+偶数
+そして
+F6=F5+F4で
+偶数=奇数+奇数
+と偶数と奇数は3周期でループします。
+
+よってフィナボッチ数列の
+3,6,9,,,3n個めと3の倍数だけ計算していけばいいことがわかります。
+
+まず最初はF3で
+F3=F1+F2
+
+F6は数列を展開するとフィナボッチ数列の定義より
+F6=F5+F4=(F4+F3)+(F3+F2)=((F3+F2)+F3)+(F3+F2)=3F3+2F2となります。
+
+F6=3*F(6-3)+2*F(6-4)ですね。
+F9=3*F6+2*F5
+F12=3*F9+2*F8
+,,,,
+と単調に続いていきます。
+よって
+Fn=3*Fn
+
+計算に必要なF(3n-1)はF5の場合で実験すると
+F5=F4+F3=(F3+F2)+F2=F3+2F2
+
+となります。
+一般の場合は
+F(3n-1)=F(3n-3)+2*F(3n-4)
+F(3n)=3*F(3n-3)+2*F(3n-4)
+
+この漸化式を計算していけばF(3n)を足し合わせていけば答えとなります。