文理共通数学基礎から(仮)用作業スペース


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第一部:式と計算(Ⅰ・Ⅱ)

第一章:数と式

§1.多項式の計算

例題:次の式を展開しなさい
(1) a(x+y+z)
(2) (x+y)(a+b)
(3) (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
【方針】
(1)分配法則を利用
□(△+○)=□×△+□×○
(2)x+yをXとすると分配法則が利用できる。
(3)x^n×x^m=x^(n+m)であるのとこれを分配法則を利用する。

【解答】
(1)ax+ay+az
(2)aX+bX=a(x+y)+b(x+y)
     =ax+ay+bx+by
(3)x^2(x+y+z)+y^2(x+y+z)+z^2(x+y+z)-xy(x+y+z)-yz(x+y+z)-zx(x+y+z)
=x^3+y^3+z^3-3xyz

§2.乗法公式

予備問題:次の式を展開しなさい
(1) (x+y)^2
(2) (x-y)^2
(3) (x+y)(x-y)
(4) (x+y)^3
(5) (x-y)^3
(6) (x+y)(x^2-xy+y^2)
(7) (x-y)(x^2+xy+y^2)
【方針】
この問題の結果は、本によっては公式になっている。覚えてしまうのが絶対に良しである。というか、数学をやっていると覚えてしまう。
解き方は§1と同じ。手が覚えるまでがんばろう。 (だれか方針願いします…。私の日本語能力の限界を超えてますんで…。)
(1)
(2)
(3)「和と差の積は、2乗の差」。
(4)
(5)
(6)
(7)

【解答】
(1)(x+y)(x+y)=(x+y)x+(x+y)y =x^2+xy+xy+y^2 =x^2+2xy+y^2
(2)(x-y)(x-y)=(x-y)x-(x-y)y =x^2-xy-(xy-y^2) =x^2-xy-xy+y^2 =x^2-2xy+y^2
(3)(x+y)(x-y)=(x+y)x-(x+y)y =x^2+xy-(xy+y^2) =x^2+xy-xy-y^2 =x^2-y^2
(4)(1)より、(x+y)^2=x^2+2xy+y^2。
∴(x+y)^3=(x+y)^2*(x+y)=(x^2+2xy+y^2)*(x+y)=(x^2+2xy+y^2)x+(x^2+2xy+y^2)y
     =(x^3+2x^2*y+x*y^2)+(x^2*y+2x*y^2+y^3)=x^3+3x^2*y+3x*y^2+y^3
(5)(2)より、(x-y)^2=x^2-2xy+y^2。
∴(x-y)^3=(x-y)^2*(x-y)=(x^2-2xy+y^2)*(x-y)=(x^2-2xy+y^2)x-(x^2-2xy+y^2)y
     =(x^3-2x^2*y+x*y^2)-(x^2*y-2x*y^2+y^3)=x^3-2x^2*y+x*y^2-x^2*y+2x*y^2+y^3=x^3-3x^2*y+3x*y^2-y^3
(6)(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x^2-xy+y^2)(x+y)=(x^2-xy+y^2)*x+(x^2-xy+y^2)*y
=(x^3-x^2*y+x*y^2)+(x^2*y-x*y^2+y^3)=x^3+y^3
(7)(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x^2+xy+y^2)(x-y)=(x^2+xy+y^2)*x-(x^2+xy+y^2)*y
=(x^3+x^2*y+x*y^2)-(x^2*y+x*y^2+y^3)=x^3+x^2*y+x*y^2-x^2*y-x*y^2-y^3=x^3-y^3


§3.乗法公式の応用

§4.因数分解

第二章:実数

§1.平方根

§2.平方根を含む式の計算

§3.(発展)二重根号を含む式の計算

§4.絶対値

第三章:方程式と不等式

§1.一次不等式

§2.連立不等式

§3.絶対値を含む方程式・不等式

§4.(発展)一次不等式のグラフ

§5.二次方程式

§6.二次方程式の解の公式

§7.二次方程式の解の個数


第二部:関数と方程式(ⅠⅡ)

第一章:点と直線

§1.二点間の距離

§2.直線と点の距離

§3.直線の垂直・平行

第二章:二次関数とそのグラフ

§1.二次関数

§2.二次関数の頂点

§3.二次関数のグラフ

§4.二次関数の最大値・最小値

第三章:二次不等式

§1.二次不等式の解き方

第四章:円の方程式

§1.円の方程式

§2.円と直線

§3.円と接線

第五章:二次関数と方程式

§1.二次関数とそれぞれの軸

§2.二次関数と方程式

第六章:軌跡と領域

§1.領域

§2.軌跡


第三部:三角比・三角関数(Ⅰ・Ⅱ)

第一章:三角関数

§1.弧度法とラジアン度数

§2.三角関数の定義

§3.三角関数の重要な公式

§4.正弦定理

§5.余弦定理

§6.三角関数のグラフ

第二章:加法定理

§1.加法定理

§2.倍角の公式

§3.y=asinθ+bcosθの変換

第三章:面積比・体積比

§1.面積比

§2.体積比


第四部:指数関数・対数関数(Ⅱ)


第五部:微分・積分(Ⅱ)


第六部:集合と論理(A)


第七部:場合の数(A)


第八部:確率(A)


第九部:平面図形と平面ベクトル(A・B)


第十部:空間ベクトル(B)


第十一部:数列(B)

第一章:等差数列

第二章:等比数列

第三章:漸化式