http://www14.atwiki.jp/yokkun/ 科学のおもちゃ箱 @wiki ja 2012-02-06T11:32:09+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/551.html ****球面三角形と球面過剰 [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1380886668]]のQ&Aより。球面三角形の面積は，球面過剰に半径二乗をかけたものになる。 ---- 【問題】 三角錐の頂点から底辺を見込む立体角を求めよ。ただし隣り合う側面どうしのなす角を $$A,B,C$$とする。 ---- 【解答】 結果的にこの問題は，半径1の球面上の球面三角形の内角が $$A,B,C$$ であるときに，その面積を求めよ，というものに等しい。球面三角形の面積は，球面過剰（球面三角形の内角の和の平面三角形の内角の和 = $$\pi$$ に対する過剰分）に半径二乗を乗じたものに等しいから，求める立体角は $$\Omega = A + B + C - \pi$$ となる。 ---- さて，球面三角形の面積が球面過剰×半径二乗に等しいことを示そう。以下， http://www.irf.se/~futaana/Kiruna/50_Kyumen.html からの受け売りである。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=551&file=KyumenSankaku.bmp) ２つの大円AB，ACによって切り取られる球面三角形ABCを含む葉っぱの形をした部分の面積は，球の半径を$$R$$とすると $$S + S_a = 4\pi R^2\times\frac{A}{2\pi} = 2AR^2$$ 同様にして，BA，BCおよびCA，CBによって切り取られる面積について $$S + S_b = 2BR^2\quad,\quad S + S_c = 2CR^2$$ を得る。ここで明らかに， $$S + S_a + S_b + S_c = 2\pi R^2$$ であるから， $$S = (A + B + C - \pi)R^2$$ を得る。 ---- 2012-02-06T11:32:09+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/550.html ****一様磁場中の荷電粒子の運動 [[物理のかぎしっぽ掲示板>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=29815&mode2=preview_pc]]から。磁場が角速度ベクトルと直結する軸性ベクトルであることを象徴するような議論。 ---- 一様磁場中の荷電粒子の運動は，磁場方向への等速運動とそれに垂直な面内の等速円運動の合成となる。特に初速度が磁場に垂直であれば，単に等速円運動となる。これはローレンツ力が速度に常に垂直であることから，ほとんど自明といえる。なぜなら，速度に垂直な力は仕事をしないから等速運動になり，ローレンツ力が円運動の向心力となるべきことが必然だからである。 もちろん運動方程式を解けば，垂直面内の等速円運動が導出される。簡単のため， $$\boldsymbol{v}_0\cdot\boldsymbol{B} = 0$$ すなわち，磁場方向の初速度成分をゼロとして等速円運動を導出しよう。運動方程式は， $$m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$$ であるから，磁場を$$z$$軸方向にとり成分に分ければ， $$m\frac{d v_x}{dt} = qv_yB$$ $$m\frac{d v_y}{dt} = -qv_xB$$ 両者から$$v_y$$を消去すれば， $$\ddot{v}_x = -\left(\frac{qB}{m}\right)^2v_x$$ と単振動の微分方程式を得，$$v_y$$についても同様の式が得られるから，それらを解けば $$\omega = \frac{qB}{m}$$ なる角速度をもつ等速円運動となることが容易に確認できる。 ---- これを成分分解せず，ベクトルのまま記述して等速円運動を導出しようというのが議論の本題である。 $$\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = -\frac{q\boldsymbol{B}}{m}\times\boldsymbol{v}$$ だから， $$\boldsymbol{\ 2012-02-03T11:35:51+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/549.html ****回転の記述と軸性ベクトル（５） [[回転の記述と軸性ベクトル（４）]]において磁場が軸性ベクトルであることをその源から解釈した。続いて電場を含めて電磁場が２階反対称の４元テンソルを構成することを示して，磁場の軸性を深く理解する礎としたい。 ---- *****(5) 磁場の軸性と電磁場のテンソル 電流を源として磁場が生じる法則（アンペールの法則またはビオ・サバールの法則）から，磁場の軸性について考察してきた。そこで，磁場ベクトルと双対をなす２階反対称テンソルを考え，それを空間成分とする４元テンソルが電磁場テンソルに他ならないことを示す。 磁場はその源である電流の配置によって決まるベクトルポテンシャル（極性ベクトル）によって， $$\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}$$ と書ける。$$\nabla$$ が極性ベクトル相当であるから，磁場は軸性ベクトルとなる。したがって，その双対をなすテンソルを $$\Omega$$ にならって $$^*\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}\quad 0 \quad -B_z \quad B_y\\ \quad B_z \qquad 0 \quad -B_x\\ -B_y\quad B_x \qquad 0\end{matrix}\right)$$ と書くことができる。たとえば，電荷 $$q$$が磁場から受ける（狭義の）ローレンツ力はこれを用いて， $$\boldsymbol{f} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} = -q\;^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}$$ と書ける。 さて，Maxwell方程式によって記述されるように，磁場は電場と切り離しがたく結びついている。これは，その源である４元電流密度 $${\rm J} = (\rho c, \boldsymbol{j})$$ が時空の４元ベクトルを構成することからもわかる。この $${\rm J}$$ の空間的配置によって４元ポテンシャル $${\rm A} = (\phi/c , \boldsymbol{A})$$ が決定する。詳細は 2012-01-31T17:31:31+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/548.html ****回転の記述と軸性ベクトル（４） [[回転の記述と軸性ベクトル（３）]]までの議論で，角速度は回転軸方向を向く軸性ベクトルとして定義されるが，その本質は２階反対称テンソルの「代用」であることを示した。それに対して磁場が軸性ベクトルであるとはどういうことなのか考察してみる。 ---- *****(4) 磁場の軸性とは何か？ 検索してみると，まさにこのテーマにそった良質の議論を10年前の[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q202443.html#answer]]にみつけることができた。ここをカンニングしながらまとめてみたい。 上記の回答でとりわけ秀逸なNo.1（hagiwara_m氏）はそのまま引用させていただく。 ---- ベクトル量の鏡映対称の変換の規則の問題ですが、これは単にあるベクトルを眺めていて決められるものではなく、色々な物理量ベクトルの物理的相互関係により判断することになります。鏡映したときに、物理的に起こることが同じになるような変換則を採用するわけです。 出発点となる拠り所は実空間の位置概念です。鏡像の世界を考えると、あらゆる物の配置が鏡映されますから、位置・変位ベクトル、続いて定義されていく速度、加速度、力、さらに派生する、電流、クーロン電場などは、正に図形としての矢印のように、各点の位置といっしょに鏡映して考えればいいことが確信されます。これらが極性ベクトル(普通のベクトル)です。 ところが、例えば環電流の内側に発生する磁束密度Ｂの向きは、電流の回転の向き(右巻きか左巻きか)で決まります。鏡映によってこの右巻き左巻きが逆になりますが、対するＢの向きはどうでしょう。これをイメージするのには、（右ネジの法則を考えるとき使う）手の(人指～小)指の巻く向きとそれに垂直に立つ親指の向きで考えるといいでしょう。親指の先を向かい合わせるように、あるいは、両親指を上に向けるように、両手を鏡像の位置に置いてみて下さい。これが図形的な鏡映関係ですが、親指の向きをＢの向きと考えると、右手は右手の法則、左手は左手の法則になってしまい、鏡像の世界で電磁気の法則が成立ちません。鏡像の環電流をつくっても、そこでもやはり右手の法則でＢの向きがきまるように考えなければならないのです。このとき、Ｂは図形としての矢印を鏡映し 2012-01-31T00:03:55+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/547.html ****回転の記述と軸性ベクトル（３） [[回転の記述と軸性ベクトル（２）]]に引き続いてベクトル積と軸性ベクトルの関連を考察する。 ---- *****(3) ベクトル積と軸性ベクトル [[回転の記述と軸性ベクトル（１）]]において，本来ベクトル積と軸性ベクトルは，２階反対称テンソルとして記述されるべきものをその双対をとって階数を１下げる「便宜」によって発明されたものであることに触れた。たとえば，回転による速度は $$\Omega \boldsymbol{r} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\quad,\quad\Omega = \left(\begin{matrix}\quad 0 \quad -\omega_z \quad \omega_y\\ \omega_z \qquad 0 \quad -\omega_x\\ -\omega_y\quad \omega_x \qquad 0\end{matrix}\right)$$ これは， $$\Omega = ^*\boldsymbol{\omega}$$ という双対関係を根拠としている。しかし，一般にベクトル積 $$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$$ は，上のような根拠から独り歩きして，ベクトルの軸性・極性に関らず２つのベクトルの間の演算として定義されている。したがって，極性ベクトルどうしのベクトル積もまた意味をなし，それが軸性ベクトルを生成するというわかりにくいが便利な記述をもたらす。たとえば，ベクトル $$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$$ のスカラー三重積 $$\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})$$ が，３つのベクトルの張る平行六面体の体積になることはよく知られている。この場合ベ 2012-01-30T13:19:46+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/546.html ****カージオイドを軌道とする中心力場 軌道の形状から中心力場を逆算する問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1180419221]]より。 ---- 【問題】 力の中心を原点とする極座標で $$r=a(1+\cos\theta)$$ で与えられる軌道を描く質点が受ける中心力を求めよ。 ---- 【解答】 与えられた軌道はカージオイドである。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=546&file=cardioid.bmp) 平面極座標における動径方向の運動方程式は $$m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = f(r)$$ また，方位角方向の運動方程式より，角運動量保存 $$r^2\dot{\theta} = h$$ を得る。軌道方程式より， $$r = a ( 1 + \cos\theta )$$ $$\dot{r} = -a\dot{\theta}\sin\theta$$ $$\ddot{r} = -a ( \ddot{\theta} \sin\theta + \dot{\theta}^2 \cos\theta )$$ 角運度量保存により， $$\dot{\theta} = \frac{h}{r^2}$$ $$\ddot{\theta} = -\frac{2h\dot{r}}{r^3} = \frac{2ah^2 \sin\theta}{r^5}$$ あらためて軌道方程式より， $$\cos\theta = \frac{r}{a} - 1$$ $$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = - \frac{r^2}{a^2} + \frac{2r}{a}$$ 以上から $$f(r) = m \left( \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} \right) = -\frac{3mah^2}{r^4}$$ を得る。ただし，$$r=0$$ は特異点となり接線速 2012-01-30T19:30:56+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/545.html ****回転の記述と軸性ベクトル（２） [[回転の記述と軸性ベクトル（１）]]では，軸性ベクトルとのベクトル積が双対の関係にある２階反対称テンソルとの行列積に他ならないことを示した。次いで軸性ベクトルの変換性を考察する。 ---- *****(2) 空間反転に対する軸性ベクトルの変換 本来回転の角速度の記述は，２階反対称テンソルによる記述が３次元空間における素直な表現といえる。スカラー積が行ベクトルと列ベクトルの行列積で表されるのに対して，ベクトル積の定義はいかにも操作的に思われる。 $$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_iB_i$$ $$(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_i = \varepsilon_{ijk}A_jB_k$$ ここで，$$\varepsilon_{ijk}A_j$$ の部分 $$^*\boldsymbol{A} = \Big(\varepsilon_{ijk}A_j\Big) = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad -A_z\qquad A_y\\\quad A_z\qquad 0\qquad -A_x\\-A_y\qquad A_x\qquad 0 \end{matrix}\right)$$ の部分が２階反対称テンソルになっているわけだ。さて，空間反転の変換 $${\rm R}$$ に対して，極性ベクトルは $${\rm R}\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}-1\qquad 0\qquad 0\\\quad0\quad -1\qquad 0\\\quad 0\qquad 0 \quad -1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B_x\\B_y\\B_z\end{matrix}\right) = -\boldsymbol{B}$$ とその符号を変える（成分の符号が変わるという意味で，ベクトルそのものは変わらない）。一方，反対称テンソルは $${\rm R}\;^*\boldsymbol{A}\;^t{\rm R} = \left(\begin{matrix}-1\qquad 0\qquad 2012-01-29T21:23:29+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/544.html ****回転の記述と軸性ベクトル（１） [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q7265109.html]]に，角速度ベクトルの方向が回転面に垂直であるのはなぜか？という物理数学上の基本問題が投げかけられた。ポイントを覚え書きとしてまとめておきたい。 ---- 質問の要点は，たとえば $$xy$$ 平面内の回転運動を記述する上で，角速度ベクトルを $$\boldsymbol{\omega} = \omega \boldsymbol{e}_z$$ と$$z$$方向のベクトルとして表すのはなぜか，というものである。さらに質問者は，回転運動の速度が $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$$ と書けることの便宜性に気づき，この便宜性のために$$\boldsymbol{\omega}$$の方向を回転軸方向と定義しているのではないかとの推測の妥当性を問うている。 いくつかの回答がついたが，そのほとんどが質問者の率直な疑問に共感を示しながら，真摯に概ね妥当と思われる説明をしている。私も回答に参加させてもらいながら，自分自身あらためて理解を深めることができたので，この疑問に関るポイントを覚え書きとしてまとめておく。 ---- *****(1) 回転速度の記述 $$ddt^3$$氏の回答の概要を引きつつ，回転運動の記述方法に関する数学的な基本問題を整理しておこう。 まず角速度ベクトルを考えるためには，線速度を考えなければならない。そして線速度を定義するためには，無限小の変位ベクトルを考える必要がある。そこで，無限小の回転による位置ベクトルの変化（無限小の変位ベクトル）を考察する。 　$${\rm T}$$ を無限小の回転を表す直交行列とする。$${\rm T}$$の具体的な形はたとえば$$z$$軸まわりの回転であれば， $${\rm T} = \left(\begin{matrix}\cos\delta \quad -\sin\delta \quad 0\\ \sin\delta \qquad \cos\delta \quad 0\\ 0\qquad\qquad 0 \qquad 1\end{matrix}\right) = 2012-01-28T20:35:44+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/543.html ****【解答】円板の瞬間回転中心 【問題】はこちら　→　[[円板の瞬間回転中心]] ---- #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=542&file=EnbanGekiryoku.bmp) 円板の直径まわりの慣性モーメントは， $$I = \frac{1}{4}Ma^2$$ 与えられた撃力の力積を $$Ft$$ とする。 撃力の結果得られる重心の速さを $$v$$ とすると， $$Mv = Ft$$ また，重心を通る水平直径軸まわりに得られる角速度を $$\omega$$ とすると， $$I\omega = xFt$$ $$\therefore v = \frac{I\omega}{Mx} = \frac{a^2}{4x}\omega$$ すなわち，円板の動かない場所は重心（中心）から $$a^2/(4x)$$ だけ上の水平直線部分である。 Algodooシーンの設定は， $$a = 100{\rm m},x = 40{\rm m}$$ で，黄色のトレーサーの位置が瞬間回転中心軸の理論値を示している。円板はつりさげてはおらず重力もなしにしているが，重力および張力は初期状態でトルクを持たないから，題意に影響はない。 なお，「円板」は以前作っておいた「疑似球」のシーンレット（部品）をスライスして，円板の直径軸まわりの慣性モーメントにほぼ一致するように作ったものである。 ※参考：[[Bowl & Ball]] #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=543&file=EnbanGekiryoku2.bmp) ---- 2012-01-27T10:30:52+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/542.html ****円板の瞬間回転中心 [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1380205503]]より。[[スィートスポット（撃心）の位置]]の類題。 ---- 【問題】 質量$$M$$，半径$$a$$の円板が糸でつるされている。中心点から$$x$$だけ下の点に撃力を与えた瞬間に，円板の中で動かない場所を求めよ。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=542&file=EnbanGekiryoku.bmp) ---- [[【解答】円板の瞬間回転中心]] ---- [[Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=542&file=Enban-Gekiryoku.phz]] ---- 2012-01-27T10:10:16+09:00