http://www14.atwiki.jp/yokkun/ 科学のおもちゃ箱 @wiki ja 2012-02-09T12:20:23+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/381.html ****運動座標系のシステマティックな導出(2) 3次元極座標系への応用を検討する。 ---- *****3次元極座標 まず，座標変換 $$x = r\sin\theta\cos\phi$$ $$y = r\sin\theta\sin\phi$$ $$z = r\cos\theta$$ を微分して， $$dx = dr\sin\theta\cos\phi + rd\theta\cos\theta\cos\phi - r\sin\theta d\phi\sin\phi$$ $$dy = dr\sin\theta\sin\phi + rd\theta\cos\theta\sin\phi + r\sin\theta d\phi\cos\phi$$ $$dz = dr\cos\theta - rd\theta\sin\theta$$ すなわち， $$\left(\begin{matrix}dx\\dy\\dz\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi \qquad \cos\theta\cos\phi \quad -\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta\sin\phi \qquad \cos\phi \\ \cos\theta \qquad\quad -\sin\theta \qquad\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}dr\\rd\theta\\r\sin\theta d\phi\end{matrix}\right)$$ ここで， $$d\boldsymbol{r} = dr\boldsymbol{e}_r + rd\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi$$ であるから， $$\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right) \quad,\qquad \boldsymbol{\mathcal{R}}=\left(\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi \quad \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi \quad \cos\theta\sin\phi \quad -\sin\theta \\ \,\, -\sin\phi \qquad\quad \cos\phi \qquad \quad 0\end{matrix}\right)$$ これが，ベクトル成分の変換ということになる。左辺は左手系に移っているから，$$\boldsymbol{\mathcal{R}}$$には反転が含まれることに留意したい。 次に基底の時間微分だが， $$\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right)$$ を微分して， $$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\,^t\boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$ によって導出できる。ただし，$$^t\boldsymbol{\mathcal{R}}$$は$$\boldsymbol{\mathcal{R}}$$の転置である。しかし，この計算はかなり煩雑になる。そこで，微小回転$$d\theta,d\phi$$による基底の変化を，直接調べてみよう。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=381&file=polar3.bmp) 結果は， $$d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + \sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi$$ $$d\boldsymbol{e}_\theta = -d\theta\boldsymbol{e}_r + \cos\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi$$ $$d\boldsymbol{e}_\phi = -d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_\theta$$ したがって， $$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$ となる。反対称で簡単な結果から見ると，さらにエレガントな導出の方法があるように見える。これは，今後の宿題としよう（[[運動座標系のシステマティックな導出(3)]]）。これを用いて速度，加速度を求める。 $$\boldsymbol{r} = r\boldsymbol{e}_r$$ 時間微分すると，速度 $$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r \dot{\boldsymbol{e}}_r$$ 　　$$ = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$$ を得，さらにもう一度微分すると，加速度 $$\ddot{\boldsymbol{r}} = (\ddot{r}-r{\dot\theta}^2-r{\dot{\phi}}^2\sin^2\theta)\boldsymbol{e}_r+(2\dot{r}\dot\theta+r\ddot\theta-r{\dot\phi}^2\sin\theta\cos\theta)\boldsymbol{e}_\theta+\{(2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot\phi)\sin\theta+2r\dot\theta\dot\phi\cos\theta\}\boldsymbol{e}_\phi$$ を得る。 ---- 2012-02-09T12:20:23+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/66.html ---- *Index（内容別）※は重複 ---- **力学(262) ---- ****[[一様磁場中の荷電粒子の運動]](2012.02.02)※ ****[[カージオイドを軌道とする中心力場]](2012.01.30) ****[[円板の瞬間回転中心]](2012.01.27) ****[[回転する放物線上に束縛された質点]](2012.01.25) ****[[雪の付着による飛行機の減速]](2012.01.11) ****[[振動の減衰と抵抗の係数]](2012.01.11) ****[[ひものついた風船の運動]](2012.01.10) ****[[水を噴いて走る水槽]](2012.01.05) ****[[水位下降速度一定のタンク形状]](2011.12.15)※ ****[[拘束系と半拘束系]](2011.11.13) ****[[母星質量が突然半減したときの惑星軌道]](2011.11.08) ****[[ビルを越える最小速度]](2011.10.24) ****[[偏心軸で斜面をすべる円板]](2011.10.19) ****[[太陽と月から受ける引力の比]](2011.09.12) ****[[質量が減少する主星まわりの惑星の運動]](2011.08.22) ****[[二重連結棒の水平面回転]](2011.08.22) ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) ****[[時空の対称性と保存則]](2011.08.11) ****[[中空円筒と円柱の微小振動]](2011.08.07) ****[[高所からの斜方投射の到達領域]](2011.08.04) ****[[単振動をエネルギー保存から解く]](2011.07.20) ****[[２球を入れた円筒の安定]](2011.06.25) ****[[自然長でばねから離れる物体]](2011.06.05) ****[[スィートスポット（撃心）の位置]](2011.05.10) ****[[ボウリングの軌道]](2011.05.01) ****[[速度に直交する力を受ける運動]](2011.02.28) ****[[作用反作用のかんちがい]](2011.02.21) ****[[弾性衝突としてのスイングバイ]](2011.02.07) ****[[方位角の関数としての惑星のエネルギー]](2011.02.06) ****[[極性ベクトルと軸性ベクトル]](2011.02.02) ****[[イオン化エネルギーと原子の大きさ]](2011.01.31) ****[[コア形成による惑星の自転加速]](2011.01.27) ****[[1m離れた1kgの質点が万有引力でくっつく時間]](2011.01.23) ****[[SPring-8による高エネルギーγ線]](2011.01.23) ****[[くさりの落下と抗力]](2011.01.22) ****[[Bowl & Ball]](2011.01.13) ****[[位置エネルギーはどこにあるのか？]](2011.01.13) ****[[回転方向で差のあるブレーキ]](2011.01.11) ****[[月の公転周期]](2010.12.13) ****[[動摩擦力を受ける水平ばね振子]](2010.12.11) ****[[球面に拘束された質点の運動]](2010.12.07) ****[[回転系から見た等速直線運動]](2010.11.24) ****[[論理積としての法則]](2010.11.15) ****[[遠心分離の速さ]](2010.11.15) ****[[タンクから噴出する水の到達距離]](2010.11.15)※ ****[[重力多体系]](2010.11.13) ****[[抵抗を受けるロケットの運動方程式]](2010.11.11) ****[[中心力は保存力である]](2010.11.09) ****[[保存力の条件]](2010.11.09) ****[[等質量の弾性斜衝突]](2010.11.08) ****[[中心軸が連結された２円板]](2010.10.25) ****[[滑車が糸から受ける力]](2010.10.20) ****[[速さの時間微分と加速度の大きさ]](2010.10.17) ****[[つまづいて倒れる直方体]](2010.10.14) ****[[エネルギー原理からエネルギー保存へ]](2010.10.08) ****[[撃力を受けた連結棒の運動]](2010.10.06) ****[[安定を無視したつりあい問題]](2010.10.01) ****[[３力のつりあい実験器]](2010,10.01) ****[[たまごころりん]](2010.09.24) ****[[連星系の崩壊]](2010.09.01) ****[[ばねで連結された２質点の縦振動]](2010.08.21) ****[[有効ポテンシャルと惑星の軌道]](2010.08.12) ****[[栓が抜けた浴槽への注水]](2010.07.27)※ ****[[質量を無視できないばねの伸び]](2010.07.27) ****[[円柱の段差乗り上げ]](2010.07.26) ****[[中心力下の円運動まわりの微小振動]](2010.07.22) ****[[中心力-krを受ける質点の運動（続き）]](2010.07.15) ****[[中心力-krを受ける質点の運動]](2010.07.15) ****[[重心運動と相対運動の角運動量]](2010.07.14) ****[[衝突パラメータと散乱角]](2010.07.14) ****[[バトンへの衝突とその回転]](2010.07.08) ****[[重心運動と相対運動のエネルギー]](2010.07.08) ****[[おわんとおはしの問題]](2010.06.13) ****[[すべる棒が壁を離れるとき]](2010.06.10) ****[[ホールインツー]](2010.06.10) ****[[バランスボール（カチカチボール）]](2010.05.15) ****[[ラザフォード散乱の軌道]](2010.05.07) ****[[軌道方程式から万有引力の法則へ]](2010.05.06) ****[[仮想仕事の原理]](2010.05.04) ****[[支点の水平振動によって励振される振り子]](2010.05.02) ****[[並進・回転の独立な振動]](2010.04.30) ****[[Ｕ字管内の液柱の振動]](2010.04.26) ****[[軌道座標系の「等加速度」運動]](2010.04.26) ****[[ポテンシャルの谷間の振動周期]](2010.04.24) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(3)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(2)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(1)]](2010.04.17) ****[[軌道方程式から位置計算まで]](2010.04.15) ****[[回転の慣性]](2010.04.02) ****[[ばね振子に励振される振子(2)]](2010.03.31) ****[[運動方程式と力学的エネルギー保存]](2010.03.30) ****[[ばね振子に励振される振子]](2010.03.30) ****[[ばねで連結された振子群の振動]](2010.03.19) ****[[血圧を生じさせる心筋の筋力]](2010.03.19) ****[[ばねで連結された質点群の横振動]](2010.03.18) ****[[運動座標系による運動方程式（２）]](2010.03.17) ****[[運動座標系による運動方程式（１）]](2010.03.17) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（３）]](2010.03.16) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（２）]](2010.03.16) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（１）]](2010.03.16) ****[[弱い結合によるモード間のうなり]](2010.03.13) ****[[弾性棒とばねで連結された３連振子]](2010.03.09) ****[[雪上スピード競技と体重]](2010.02.23) ****[[スリンキー近似]](2010.02.21) ****[[二重振子のモード]](2010.02.12) ****[[運動エネルギーの相対性]](2010.01.31) ****[[糸でつながれた点電荷の運動]](2010.01.30) ****[[切れ目のあるリング電荷の回転]](2010.01.29) ****[[小球を発射する台車]](2010.01.28) ****[[水平面との無限回衝突]](2010.01.27) ****[[水の入ったV字管つき台車]](2010.01.25) ****[[小球群による圧力とその解放]](2010.01.23) ****[[ダークマターが公転に与える影響]](2010.01.21) ****[[自転を考慮した鉛直投げ上げ]](2010.01.18) ****[[パテがくっついた棒の運動(2)]](2010.01.16) ****[[ばね連結台車のキャッチボール]](2010.01.14) ****[[斜面上の斜方投射と弾性衝突]](2010.01.13) ****[[完全非弾性の斜衝突]](2010.01.11) ****[[正方形枠の回転２]](2010.01.10) ****[[正方形枠の回転]](2010.01.10) ****[[斜面をすべる台上のばね振子]](2010.01.08) ****[[斜面上で回転静止する円筒]](2010.01.07) ****[[宇宙船のスピン低減装置]](2010.01.07) ****[[２次元ばね振子]](2010.01.06) ****[[降りるおもちゃ2題]](2010.01.05) ****[[ばねと摩擦のおもちゃ]](2010.01.04) ****[[ぶらんこ３題]](2010.01.04) ****[[実体振子]](2010.01.03) ****[[撃力を受けた回転軸連結棒の速さ]](2010.01.02) ****[[ばね振子への衝突合体]](2010.01.02) ****[[加速する斜面から飛び出す物体]](2010.01.02) ****[[支点の上下する振子]](2010.01.01) ****[[ターンテーブル上を歩く虫]](2009.12.31) ****[[衝突する振子のついた台車]](2009.12.30) ****[[ウェイトのついたターンテーブル]](2009.12.29) ****[[棒が回転軸から受ける力]](2009.12.28) ****[[二重振子の運動方程式]](2009.12.27) ****[[滑車を回して落ちるロープ]](2009.12.26) ****[[回転盤の親子]](2009.12.25) ****[[ばねにつりさげられたひも]](2009.12.24) ****[[パテがくっついた棒の運動]](2009.12.23) ****[[すべりからころがりへの移行]](2009.12.23) ****[[ばねにつりさげられた板上の物体]](2009.12.22) ****[[壁に立てかけた立方体]](2009.12.21) ****[[２直線に束縛された振子]](2009.12.21) ****[[バリスティック振子]](2009.12.19) ****[[つるした棒のつりあい]](2009.12.18) ****[[途中にばねのついた振子]](2009.12.18) ****[[階段をはずんでおりる小球]](2009.12.17) ****[[三角枠上でつりあう連結おもり]](2009.12.17) ****[[荷台からの丸太の落下]](2009.12.16) ****[[小球を投げ出して走る台車]](2009.12.15) ****[[棒にかけたひもの落下]](2009.12.11) ****[[斜方投射の到達領域]](2009.12.10) ****[[すべり台と壁を往復する小球]](2009.12.10) ****[[円弧状の面をもつ台と小球]](2009.12.08) ****[[降り注ぐ粒子群の中の物体]](2009.12.07) ****[[ばね振子への弾丸打ち込み]](2009.12.06) ****[[相対運動方程式の３つの解釈]](2009.12.06) ****[[すべるブロックに連結した振子]](2009.12.06) ****[[単振子と壁の間を往復する小球]](2009.12.05) ****[[斜面上で衝突をくりかえす２物体]](2009.12.03) ****[[ばねで連結された２物体]](2009.12.03) ****[[アトウッドの器械]](2009.12.02) ****[[斜面上のばねと小球]](2009.12.02) ****[[斜面をすべる実験室内の振子]](2009.11.30) ****[[振子にとびのる小球]](2009.11.30) ****[[台車上の円柱面を上る小球]](2009.11.29) ****[[ばねと壁の間を往復する小球]](2009.11.29) ****[[円筒面をころがる小円板]](2009.11.28) ****[[円筒面をすべる小球]](2009.11.27) ****[[半円筒に立てかけた棒]](2009.11.27) ****[[動く台と小物体]](2009.11.27) ****[[ボビン・バランス]](2009.11.26) ****[[FR車の加速]](2009.11.25) ****[[トラス構造の変形]](2009.11.23) ****[[回転軸連結された２本の棒]](2009.11.22) ****[[ループコースター]](2009.11.22) ****[[斜面からの投射]](2009.11.21) ****[[モンキーハンティング問題]](2009.11.21) ****[[自由落下と鉛直投げ上げ]](2009.11.21) ****[[ばねつき台車に乗る小物体]](2009.11.15) ****[[テニスの壁打ち]](2009.11.15) ****[[棒と円板の連成振子]](2009.11.14) ****[[車輪にクランク連結したスライダー]](2009.11.09) ****[[2次元宇宙の力学]](2009.10.10) ****[[場と源の対称性と次元]](2009.10.07) ***[[Phunにおける擬似遠心力と水面の形]](2009.10.06)※ ****[[回転容器から水があふれる条件]](2009.10.05)※ ****[[ラザフォード散乱]](2009.09.22) ****[[猿とおもり問題 (2)]](2009.09.17) ****[[猿とおもり問題]](2009.09.17) ****[[宇宙ステーションからのボール投げ]](2009.09.11) ****[[雪崩の単純化モデル]](2009.09.09) ****[[月への航行時間]](2009.09.07) ****[[万有引力と電気力の比較]](2009.09.07) ****[[極座標系の速度・加速度]](2009.08.28) ****[[射出の緩衝効果について]](2009.08.20) ****[[単振り子の運動方程式]](2009.07.24) ****[[ツィオルコフスキーのロケット方程式]](2009.07.16) ****[[重いものほど速く落ちる？]](2009.07.09) ****[[古典力学における運動量とエネルギー]](2009.07.02) ****[[質量比３：１の衝突]](2009.06.17) ****[[遠心力か初速稼ぎか？]](2009.06.14) ****[[スーパーボールロケット]](2009.06.05) ****[[アルマゲドン]](2009.05.18) ****[[ケプラーの第３法則]](2009.05.16) ****[[動く斜面上の運動(2)]](2009.05.14) ****[[宇宙ステーション内の擬似重力]](2009.05.13) ****[[『Phun』でスイングバイ]](2009.05.01) ****[[『Phun』で潮汐]](2009.04.30) ****[[『Phun』でランデブー]](2009.04.30) ****[[ニュートンの人工衛星]](2009.04.29) ****[[斜方投射体の塀越え]](2009.04.25) ****[[ラグランジアンの落とし穴]](2009.04.16) ****[[棒振子ダービーのゆくえ]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―棒振子と自由落下]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―さらなる単純化]](2009.04.04) ****[[連結棒振子のカオス]](2009.04.03) ****[[バンジー問題（くさり効果）の解析]](2009.04.03) ****[[どっちがはやい？]](2009.04.02) ****[[ふりこ三兄弟]](2009.04.02) ****[[衝突振子（理論編）]](2009.04.02) ****[[衝突振子（実験編）]](2009.04.02) ****[[斜方投射]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（負の加速度）]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（1・3・5…の法則）]](2009.03.31) ****[[ファインマンのトラス問題]](2009.03.30) ****[[『Phun』でトラス]](2009.03.29) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(8)]](2009.03.25) ****[[斜面上のばねによる打ち上げ（エネルギー分配）]](2009.03.24) ****[[斜面上のばねによる打ち上げ]](2009.03.23) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(6)]](2009.03.21) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(4)]](2009.03.20) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1，停止なし）]](2009.03.16) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1）]](2009.03.14) ****[[小球と木片の無限回衝突]](2009.03.13) ****[[半球転がり振子]](2009.02.19) ****[[瞬間の回転軸と慣性モーメント]](2009.02.17) ****[[半円筒の転がり振子（修正）]](2009.02.17) ****[[半円筒の転がり振子]](2009.02.16) ****[[動く斜面上の運動]](2009.02.15) ****[[ばねを介した衝突]](2009.02.14) ****[[ヒットペットの力学]](2009.02.11) ****[[ペットボトルの起き上がり]](2009.02.04) ****[[斜面を転がり下りる速さ]](2009.01.27) ****[[棒がたおれる速さ]](2009.01.27) ****[[2次元の弾性衝突]](2009.01.20) ****[[連星系の相対運動]](2009.01.14) ****[[相対運動と換算質量]](2009.01.13) ****[[質点系としての剛体の物理量]](2008.12.31) ****[[位置エネルギーに関する悩み]](2008.12.15) ****[[斜方投射の問題]](2008.12.13) ****[[仕事の主語を何にすべきか？]](2008.12.11) ****[[力学系と内力・外力]](2008.12.10) ****[[浮力による位置エネルギー]](2008.12.09)※ ****[[潮汐力の大きさ]](2008.12.04) ****[[地球上で太陽引力の影響が小さいのはなぜか？]](2008.12.02) ****[[この世に摩擦がなかったら？]](2008.12.01) ****[[平行軸の定理]](2008.11.27) ****[[物理は自由だ！]]（力学系解析のフレキシビリティについて考える） ****[[ガウス加速器]]を多段ならべたら，どんどん加速するか?(2008.11.25) ---- **電磁気学(24) ---- ****[[一様磁場中の荷電粒子の運動]](2012.02.02)※ ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) ****[[極性ベクトルと軸性ベクトル]](2011.02.02) ****[[ベクトル場の「勾配」？]](2010.10.19) ****[[安定を無視したつりあい問題]](2010.10.01) ****[[ローレンツ短縮と電磁場の変換]](2010.09.13) ****[[電気力線の「分岐点」]](2010.07.28) ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（その２）]](2010.02.23) ****[[直線電流がつくる磁場内を動く正方形コイル]](2010.02.13) ****[[相対論と電磁場の変換]](2010.02.04) ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（試論）]](2010.02.03) ****[[糸でつながれた点電荷の運動]](2010.01.30) ****[[切れ目のあるリング電荷の回転]](2010.01.29) ****[[「計算バカ」への戒め]](2009.12.09) ****[[2次元宇宙の力学]](2009.10.10) ****[[場と源の対称性と次元]](2009.10.07) ****[[Phunで電気力線]](2009.09.23) ****[[ラザフォード散乱]](2009.09.22) ****[[万有引力と電気力の比較]](2009.09.07) ****[[高エネルギー荷電粒子のサイクロトロン運動]](2009.08.18) ****[[電磁場の変換と荷電粒子の運動]](2009.03.07) ****[[電気力線の方程式]](2009.03.07) ****[[電磁力と電磁誘導の対称性]](2009.02.03) ****[[電気双極子場]](2008.11.23) ---- **波動(13) ---- ****[[斜め方向のドップラー効果（難問）]](2011.02.04) ****[[波動のローレンツ変換]](2011.01.22) ****[[回折格子における近似の「矛盾」]](2010.11.13) ****[[動く反射壁によるドップラー効果]](2010.01.20) ****[[干渉条件と反射則の矛盾]](2010.01.19) ****[[虹の広がり角]](2009.12.03) ****[[進行波と反射波によるうなり]](2009.11.12) ****[[Algodooのレーザー光]](2009.09.25) ****[[ヤングの干渉実験（実験）]](2009.01.23) ****[[ヤングの干渉実験（理論）]](2009.01.23) ****[[光のドップラー効果]](2008.12.28) ****[[焦点距離を求めるAbbeの方法]](2008.12.07) ****[[ゾーンプレート]](2008.11.30) ---- **相対性理論(19) ---- ****[[球面三角形と球面過剰]](2012.02.06) ****[[相対論における運動エネルギー]](2011.02.28) ****[[高エネルギー正面衝突の有効性]](2011.01.26) ****[[運動量から速さを求める]](2011.01.24) ****[[SPring-8による高エネルギーγ線]](2011.01.23) ****[[波動のローレンツ変換]](2011.01.22) ****[[反対称テンソルの成分展開]](2010.11.18) ****[[双子の交信]](2010.11.08) ****[[GPS衛星の時計補正]](2010.11.05) ****[[曲率テンソルの展開]](2010.10.01) ****[[ローレンツ短縮と電磁場の変換]](2010.09.13) ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？（２）]](2010.06.21) ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？]](2010.06.16) ****[[相対論と電磁場の変換]](2010.02.04) ****[[AVATAR]](2010.01.26) ****[[重力赤方偏移]](2009.06.02) ****[[電磁場の変換と荷電粒子の運動]](2009.03.07) ****[[電磁力と電磁誘導の対称性]](2009.02.03) ****[[光のドップラー効果]](2008.12.28) ---- **熱力学(9) ---- ****[[理想気体の内部エネルギー]](2011.02.21) ****[[論理積としての法則]](2010.11.15) ****[[小球群による圧力とその解放]](2010.01.23) ****[[「計算バカ」への戒め]](2009.12.09) ****[[液体モデルと熱量保存問題(2)]](2009.08.27) ****[[液体モデルと熱量保存問題]](2009.08.27) ****[[比熱と温度変化のモデル]](2009.08.27) ****[[圧力が体積に比例する理想気体の変化]](2009.08.04) ****[[２段圧縮機]](2009.07.03) ---- **量子力学(6) ---- ****[[固有ベクトル展開を用いた極限問題]](2011.03.08) ****[[パウリ行列と演算子の指数関数]](2011.03.08) ****[[量子力学の基本定理証明における２つの表現（覚え書き）]](2011.03.01) ****[[イオン化エネルギーと原子の大きさ]](2011.01.31) ****[[マイクロ波スペクトルによる星間分子の同定]](2011.01.11) ****[[CO分子のマイクロ波スペクトル]](2011.01.10) ---- **流体力学(6) ---- ****[[水位下降速度一定のタンク形状]](2011.12.15)※ ****[[タンクから噴出する水の到達距離]](2010.11.15)※ ****[[栓が抜けた浴槽への注水]](2010.07.27)※ ***[[Phunにおける擬似遠心力と水面の形]](2009.10.06)※ ****[[回転容器から水があふれる条件]](2009.10.05)※ ****[[浮力による位置エネルギー]](2008.12.09)※ ---- **物理数学(46) ---- ****[[球面三角形と球面過剰]](2012.02.06) ****[[一様磁場中の荷電粒子の運動]](2012.02.02)※ ****[[回転の記述と軸性ベクトル（５）]](2012.01.31) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（４）]](2012.01.30) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（３）]](2012.01.30) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（２）]](2012.01.29) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（１）]](2012.01.28) ****[[曲線座標における微分と接続係数]](2012.01.18) ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) ****[[３次元ベクトルの２方向分解（覚え書き）]](2011.04.25) ****[[固有ベクトル展開を用いた極限問題]](2011.03.08) ****[[パウリ行列と演算子の指数関数]](2011.03.08) ****[[一杯の水に含まれる卑弥呼の飲んだ水分子]](2011.02.22) ****[[極性ベクトルと軸性ベクトル]](2011.02.02) ****[[０の０乗は？]](2010.11.30) ****[[反対称テンソルの成分展開]](2010.11.18) ****[[論理積としての法則]](2010.11.15) ****[[回折格子における近似の「矛盾」]](2010.11.13) ****[[ベクトル演算--成分 vs 行列--]](2010.10.24) ****[[ベクトル演算の行列化(3)]](2010.10.23) ****[[ベクトル演算の行列化(2)]](2010.10.21) ****[[ベクトル演算の行列化(1)]](2010.10.21) ****[[ベクトル場の「勾配」？]](2010.10.19) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(3)]](2010.10.14) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(2)]](2010.10.13) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(1)]](2010.10.13) ****[[曲率テンソルの展開]](2010.10.01) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(3)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(2)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(1)]](2010.04.17) ****[[プランク質量とプランク長]](2010.01.27) ****[[数値解析ツールPolymath]](2010.01.17) ****[[斜方投射の到達領域]](2009.12.10) ****[[「計算バカ」への戒め]](2009.12.09) ****[[2次元宇宙の力学]](2009.10.10) ****[[場と源の対称性と次元]](2009.10.07) ****[[極座標系の速度・加速度]](2009.08.28) ****[[微分が割り算なら積分は掛け算だ！]](2009.08.08) ****[[ベクトル公式と微分演算子]](2009.06.03) ****[[n次元超球の体積と表面積]](2009.03.01) ****[[パップス－ギュルダンの定理]](2009.02.16) ****[[多変数関数のテーラー展開]](2009.01.06) ****[[行列の対角化（覚書）]](2008.12.19) ****[[計量テンソルによるラプラシアン（覚書）]](2008.12.01) ****[[微分演算子とベクトルの直積]](2008.11.24) ---- **シミュレーション(175) ---- ****[[ひものついた風船の運動]](2012.01.10) ****[[拘束系と半拘束系]](2011.11.13) ****[[母星質量が突然半減したときの惑星軌道]](2011.11.08) ****[[ビルを越える最小速度]](2011.10.24) ****[[偏心軸で斜面をすべる円板]](2011.10.19) ****[[質量が減少する主星まわりの惑星の運動]](2011.08.22) ****[[二重連結棒の水平面回転]](2011.08.22) ****[[中空円筒と円柱の微小振動]](2011.08.07) ****[[２球を入れた円筒の安定]](2011.06.25) ****[[自然長でばねから離れる物体]](2011.06.05) ****[[ボウリングの軌道]](2011.05.01) ****[[弾性衝突としてのスイングバイ]](2011.02.07) ****[[くさりの落下と抗力]](2011.01.22) ****[[Bowl & Ball]](2011.01.13) ****[[回転方向で差のあるブレーキ]](2011.01.11) ****[[月の公転周期]](2010.12.13) ****[[動摩擦力を受ける水平ばね振子]](2010.12.11) ****[[撃力を受けた連結棒の運動]](2010.10.06) ****[[電気力線の「分岐点」]](2010.07.28) ****[[質量を無視できないばねの伸び]](2010.07.27) ****[[円柱の段差乗り上げ]](2010.07.26) ****[[バトンへの衝突とその回転]](2010.07.08) ****[[おわんとおはしの問題]](2010.06.13) ****[[すべる棒が壁を離れるとき]](2010.06.10) ****[[ホールインツー]](2010.06.10) ****[[ラザフォード散乱の軌道]](2010.05.07) ****[[仮想仕事の原理]](2010.05.04) ****[[支点の水平振動によって励振される振り子]](2010.05.02) ****[[並進・回転の独立な振動]](2010.04.30) ****[[Ｕ字管内の液柱の振動]](2010.04.26) *****[[回転の慣性]](2010.04.02) ***[[ばね振子に励振される振子(2)]](2010.03.31) ****[[ばね振子に励振される振子]](2010.03.30) ****[[弱い結合によるモード間のうなり]](2010.03.13) ****[[二重振子のモード]](2010.02.12) ****[[糸でつながれた点電荷の運動]](2010.01.30) ****[[切れ目のあるリング電荷の回転]](2010.01.29) ****[[小球を発射する台車]](2010.01.28) ****[[水平面との無限回衝突]](2010.01.27) ****[[水の入ったV字管つき台車]](2010.01.25) ****[[数値解析ツールPolymath]](2010.01.17) ****[[パテがくっついた棒の運動(2)]](2010.01.16) ****[[ばね連結台車のキャッチボール]](2010.01.14) ****[[斜面上の斜方投射と弾性衝突]](2010.01.13) ****[[完全非弾性の斜衝突]](2010.01.11) ****[[正方形枠の回転２]](2010.01.10) ****[[正方形枠の回転]](2010.01.10) ****[[斜面をすべる台上のばね振子]](2010.01.08) ****[[斜面上で回転静止する円筒]](2010.01.07) ****[[宇宙船のスピン低減装置]](2010.01.07) ****[[２次元ばね振子]](2010.01.06) ****[[降りるおもちゃ2題]](2010.01.05) ****[[ばねと摩擦のおもちゃ]](2010.01.04) ****[[ぶらんこ３題]](2010.01.04) ****[[実体振子]](2010.01.03) ****[[撃力を受けた回転軸連結棒の速さ]](2010.01.02) ****[[ばね振子への衝突合体]](2010.01.02) ****[[加速する斜面から飛び出す物体]](2010.01.02) ****[[支点の上下する振子]](2010.01.01) ****[[ターンテーブル上を歩く虫]](2009.12.31) ****[[衝突する振子のついた台車]](2009.12.30) ****[[ウェイトのついたターンテーブル]](2009.12.29) ****[[棒が回転軸から受ける力]](2009.12.28) ****[[二重振子の運動方程式]](2009.12.27) ****[[滑車を回して落ちるロープ]](2009.12.26) ****[[回転盤の親子]](2009.12.25) ****[[ばねにつりさげられたひも]](2009.12.24) ****[[パテがくっついた棒の運動]](2009.12.23) ****[[すべりからころがりへの移行]](2009.12.23) ****[[ばねにつりさげられた板上の物体]](2009.12.22) ****[[壁に立てかけた立方体]](2009.12.21) ****[[２直線に束縛された振子]](2009.12.21) ****[[バリスティック振子]](2009.12.19) ****[[つるした棒のつりあい]](2009.12.18) ****[[途中にばねのついた振子]](2009.12.18) ****[[階段をはずんでおりる小球]](2009.12.17) ****[[三角枠上でつりあう連結おもり]](2009.12.17) ****[[荷台からの丸太の落下]](2009.12.16) ****[[小球を投げ出して走る台車]](2009.12.15) ****[[棒にかけたひもの落下]](2009.12.11) ****[[斜方投射の到達領域]](2009.12.10) ****[[すべり台と壁を往復する小球]](2009.12.10) ****[[円弧状の面をもつ台と小球]](2009.12.08) ****[[降り注ぐ粒子群の中の物体]](2009.12.07) ****[[ばね振子への弾丸打ち込み]](2009.12.06) ****[[すべるブロックに連結した振子]](2009.12.06) ****[[単振子と壁の間を往復する小球]](2009.12.05) ****[[虹の広がり角]](2009.12.03) ****[[斜面上で衝突をくりかえす２物体]](2009.12.03) ****[[ばねで連結された２物体]](2009.12.03) ****[[アトウッドの器械]](2009.12.02) ****[[斜面上のばねと小球]](2009.12.02) ****[[斜面をすべる実験室内の振子]](2009.11.30) ****[[振子にとびのる小球]](2009.11.30) ****[[台車上の円柱面を上る小球]](2009.11.29) ****[[ばねと壁の間を往復する小球]](2009.11.29) ****[[円筒面をころがる小円板]](2009.11.28) ****[[円筒面をすべる小球]](2009.11.27) ****[[半円筒に立てかけた棒]](2009.11.27) ****[[動く台と小物体]](2009.11.27) ****[[ボビン・バランス]](2009.11.26) ****[[FR車の加速]](2009.11.25) ****[[トラス構造の変形]](2009.11.23) ****[[回転軸連結された２本の棒]](2009.11.22) ****[[ループコースター]](2009.11.22) ****[[斜面からの投射]](2009.11.21) ****[[モンキーハンティング問題]](2009.11.21) ****[[自由落下と鉛直投げ上げ]](2009.11.21) ****[[ばねつき台車に乗る小物体]](2009.11.15) ****[[テニスの壁打ち]](2009.11.15) ****[[棒と円板の連成振子]](2009.11.14) ****[[車輪にクランク連結したスライダー]](2009.11.09) ****[[2次元宇宙の力学]](2009.10.10) ****[[Phunにおける擬似遠心力と水面の形]](2009.10.06) ****[[Algodooの物理量表示]](2009.09.25) ****[[Algodooのレーザー光]](2009.09.25) ****[[『Algodoo』の発売を喜ぶ]](2009.09.24) ****[[ラザフォード散乱]](2009.09.22) ****[[猿とおもり問題 (2)]](2009.09.17) ****[[猿とおもり問題]](2009.09.17) ****[[宇宙ステーションからのボール投げ]](2009.09.11) ****[[射出の緩衝効果について]](2009.08.20) ****[[スーパーボールロケット]](2009.06.05) ****[[アルマゲドン]](2009.05.18) ****[[ケプラーの第３法則]](2009.05.16) ****[[動く斜面上の運動(2)]](2009.05.14) ****[[宇宙ステーション内の擬似重力]](2009.05.13) ****[[『Phun』でスイングバイ]](2009.05.01) ****[[『Phun』で潮汐]](2009.04.30) ****[[『Phun』でランデブー]](2009.04.30) ****[[ニュートンの人工衛星]](2009.04.29) ****[[グリンピースカウンター21]](2009.04.26) ****[[グリンピースカウンター２]](2009.04.18) ****[[グリンピースカウンター]](2009.04.16) ****[[『Phun』でてのひらエンジン]](2009.04.11) ****[[『Phun』 で振子時計２]](2009.04.10) ****[[『Phun』で振子時計]](2009.04.08) ****[[太陽系のシミュレーション]](2009.04.05) ****[[棒振子ダービーのゆくえ]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―棒振子と自由落下]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―さらなる単純化]](2009.04.04) ****[[連結棒振子のカオス]](2009.04.03) ****[[バンジー問題（くさり効果）の解析]](2009.04.03) ****[[どっちがはやい？]](2009.04.02) ****[[ふりこ三兄弟]](2009.04.02) ****[[衝突振子（実験編）]](2009.04.02) ****[[斜方投射]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（負の加速度）]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（1・3・5…の法則）]](2009.03.31) ****[[ファインマンのトラス問題]](2009.03.30) ****[[『Phun』でトラス]](2009.03.29) ****[[『Phun』で時計]](2009.03.26) ****[[『Phun』でくるま]](2009.03.26) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(8)]](2009.03.25) ****[[斜面上のばねによる打ち上げ]](2009.03.23) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(7)]](2009.03.23) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(6)]](2009.03.21) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(5)]](2009.03.21) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(4)]](2009.03.20) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(3)]](2009.03.19) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(2)]](2009.03.18) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(1)]](2009.03.18) ****[[『Phun』で半円筒振子]](2009.03.17) ****[[『Phun』でころりん（改良版）]](2009.03.17) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1，停止なし）]](2009.03.16) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1）]](2009.03.14) ****[[小球と木片の無限回衝突]](2009.03.13) ****[[『Phun』でモンキー（改良版）]](2009.02.24) ****[[『Phun』でモンキーハンティング]](2009.02.23) ****[[『Phun』でリアルなヒットペット]](2009.02.19) ****[[『Phun』でヒットペット（改訂）]](2009.02.18) ****[[『Phun』でころりん]](2009.02.13) ****[[『Phun』 でヒットペット]](2009.02.12) ****[[Interactive Physics]](2009.02.09) ****[[「あそぶつり」で遊んでみた]](2009.02.07) ****[[Physics Illustrator]](2008.12.25) ---- **その他(14) ---- ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) ****[[一杯の水に含まれる卑弥呼の飲んだ水分子]](2011.02.22) ****[[プランク質量とプランク長]](2010.01.27) ****[[「計算バカ」への戒め]](2009.12.09) ****[[星空のパラドックス]](2009.11.24) ****[[いまさらきけない「物理の疑問」]](2009.06.05) ****[[グリンピースカウンター21]](2009.04.26) ****[[グリンピースカウンター２]](2009.04.18) ****[[グリンピースカウンター]](2009.04.16) ****[[『Phun』で振子時計]](2009.04.08) ****[[太陽系のシミュレーション]](2009.04.05) ****[[『Phun』で時計]](2009.03.26) ****[[『Phun』でくるま]](2009.03.26) ****[[ジェットエンジンの逆推力装置]](2008.12.22) ---- 2012-02-06T11:37:13+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/64.html ---- *Index（日付順） ---- ****[[球面三角形と球面過剰]](2012.02.06) ****[[一様磁場中の荷電粒子の運動]](2012.02.02) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（５）]](2012.01.31) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（４）]](2012.01.30) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（３）]](2012.01.30) ****[[カージオイドを軌道とする中心力場]](2012.01.30) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（２）]](2012.01.29) ****[[回転の記述と軸性ベクトル（１）]](2012.01.28) ****[[円板の瞬間回転中心]](2012.01.27) ****[[回転する放物線上に束縛された質点]](2012.01.25) ****[[曲線座標における微分と接続係数]](2012.01.18) ****[[雪の付着による飛行機の減速]](2012.01.11) ****[[振動の減衰と抵抗の係数]](2012.01.11) ****[[ひものついた風船の運動]](2012.01.10) ****[[水を噴いて走る水槽]](2012.01.05) ****[[水位下降速度一定のタンク形状]](2011.12.15) ****[[拘束系と半拘束系]](2011.11.13) ****[[母星質量が突然半減したときの惑星軌道]](2011.11.08) ****[[ビルを越える最小速度]](2011.10.24) ****[[偏心軸で斜面をすべる円板]](2011.10.19) ****[[太陽と月から受ける引力の比]](2011.09.12) ****[[質量が減少する主星まわりの惑星の運動]](2011.08.22) ****[[二重連結棒の水平面回転]](2011.08.22) ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) ****[[時空の対称性と保存則]](2011.08.11) ****[[中空円筒と円柱の微小振動]](2011.08.07) ****[[高所からの斜方投射の到達領域]](2011.08.04) ****[[単振動をエネルギー保存から解く]](2011.07.20) ****[[２球を入れた円筒の安定]](2011.06.25) ****[[自然長でばねから離れる物体]](2011.06.05) ****[[スィートスポット（撃心）の位置]](2011.05.10) ****[[ボウリングの軌道]](2011.05.01) ****[[３次元ベクトルの２方向分解（覚え書き）]](2011.04.25) ---- **2011.03(3) ---- ****[[固有ベクトル展開を用いた極限問題]](2011.03.08) ****[[パウリ行列と演算子の指数関数]](2011.03.08) ****[[量子力学の基本定理証明における２つの表現（覚え書き）]](2011.03.01) ---- **2011.02(9) ---- ****[[速度に直交する力を受ける運動]](2011.02.28) ****[[相対論における運動エネルギー]](2011.02.28) ****[[一杯の水に含まれる卑弥呼の飲んだ水分子]](2011.02.22) ****[[作用反作用のかんちがい]](2011.02.21) ****[[理想気体の内部エネルギー]](2011.02.21) ****[[弾性衝突としてのスイングバイ]](2011.02.07) ****[[方位角の関数としての惑星のエネルギー]](2011.02.06) ****[[斜め方向のドップラー効果（難問）]](2011.02.04) ****[[極性ベクトルと軸性ベクトル]](2011.02.02) ---- **2011.01(13) ---- ****[[イオン化エネルギーと原子の大きさ]](2011.01.31) ****[[コア形成による惑星の自転加速]](2011.01.27) ****[[高エネルギー正面衝突の有効性]](2011.01.26) ****[[運動量から速さを求める]](2011.01.24) ****[[1m離れた1kgの質点が万有引力でくっつく時間]](2011.01.23) ****[[SPring-8による高エネルギーγ線]](2011.01.23) ****[[くさりの落下と抗力]](2011.01.22) ****[[波動のローレンツ変換]](2011.01.22) ****[[Bowl & Ball]](2011.01.13) ****[[位置エネルギーはどこにあるのか？]](2011.01.13) ****[[回転方向で差のあるブレーキ]](2011.01.11) ****[[マイクロ波スペクトルによる星間分子の同定]](2011.01.11) ****[[CO分子のマイクロ波スペクトルC]](2011.01.10) ---- **2010.12(3) ---- ****[[月の公転周期]](2010.12.13) ****[[動摩擦力を受ける水平ばね振子]](2010.12.11) ****[[球面に拘束された質点の運動]](2010.12.07) ---- **2010.11(14) ---- ****[[０の０乗は？]](2010.11.30) ****[[回転系から見た等速直線運動]](2010.11.24) ****[[反対称テンソルの成分展開]](2010.11.18) ****[[論理積としての法則]](2010.11.15) ****[[遠心分離の速さ]](2010.11.15) ****[[タンクから噴出する水の到達距離]](2010.11.15) ****[[回折格子における近似の「矛盾」]](2010.11.13) ****[[重力多体系]](2010.11.13) ****[[抵抗を受けるロケットの運動方程式]](2010.11.11) ****[[中心力は保存力である]](2010.11.09) ****[[保存力の条件]](2010.11.09) ****[[等質量の弾性斜衝突]](2010.11.08) ****[[双子の交信]](2010.11.08) ****[[GPS衛星の時計補正]](2010.11.05) ---- **2010.10(16) ---- ****[[中心軸が連結された２円板]](2010.10.25) ****[[ベクトル演算--成分 vs 行列--]](2010.10.24) ****[[ベクトル演算の行列化(3)]](2010.10.23) ****[[ベクトル演算の行列化(1)]](2010.10.21) ****[[滑車が糸から受ける力]](2010.10.20) ****[[ベクトル場の「勾配」？]](2010.10.19) ****[[速さの時間微分と加速度の大きさ]](2010.10.17) ****[[つまづいて倒れる直方体]](2010.10.14) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(3)]](2010.10.14) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(2)]](2010.10.13) ****[[極座標による微分導出への回転の活用(1)]](2010.10.13) ****[[エネルギー原理からエネルギー保存へ]](2010.10.08) ****[[撃力を受けた連結棒の運動]](2010.10.06) ****[[安定を無視したつりあい問題]](2010.10.01) ****[[３力のつりあい実験器]](2010,10.01) ****[[曲率テンソルの展開]](2010.10.01) ---- **2010.9(3) ---- ****[[たまごころりん]](2010.09.24) ****[[ローレンツ短縮と電磁場の変換]](2010.09.13) ****[[連星系の崩壊]](2010.09.01) ---- **2010.8(2) ---- ****[[ばねで連結された２質点の縦振動]](2010.08.21) ****[[有効ポテンシャルと惑星の軌道]](2010.08.12) ---- **2010.7(10) ---- ****[[電気力線の「分岐点」]](2010.07.28) ****[[栓が抜けた浴槽への注水]](2010.07.27) ****[[質量を無視できないばねの伸び]](2010.07.27) ****[[円柱の段差乗り上げ]](2010.07.26) ****[[中心力下の円運動まわりの微小振動]](2010.07.22) ****[[中心力-krを受ける質点の運動（続き）]](2010.07.15) ****[[中心力-krを受ける質点の運動]](2010.07.15) ****[[衝突パラメータと散乱角]](2010.07.14) ****[[バトンへの衝突とその回転]](2010.07.08) ****[[重心運動と相対運動のエネルギー]](2010.07.08) ---- **2010.6(5) ---- ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？（２）]](2010.06.21) ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？]](2010.06.16) ****[[おわんとおはしの問題]](2010.06.13) ****[[すべる棒が壁を離れるとき]](2010.06.10) ****[[ホールインツー]](2010.06.10) ---- **2010.5(5) ---- ****[[バランスボール（カチカチボール）]](2010.05.15) ****[[ラザフォード散乱の軌道]](2010.05.07) ****[[軌道方程式から万有引力の法則へ]](2010.05.06) ****[[仮想仕事の原理]](2010.05.04) ****[[支点の水平振動によって励振される振り子]](2010.05.02) ---- **2010.4(9) ---- ****[[並進・回転の独立な振動]](2010.04.30) ****[[Ｕ字管内の液柱の振動]](2010.04.26) ****[[軌道座標系の「等加速度」運動]](2010.04.26) ****[[ポテンシャルの谷間の振動周期]](2010.04.24) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(3)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(2)]](2010.04.18) ****[[運動座標系のシステマティックな導出(1)]](2010.04.17) ****[[軌道方程式から位置計算まで]](2010.04.15) ****[[回転の慣性]](2010.04.02) ---- **2010.3(13) ---- ****[[ばね振子に励振される振子(2)]](2010.03.31) ****[[運動方程式と力学的エネルギー保存]](2010.03.30) ****[[ばね振子に励振される振子]](2010.03.30) ****[[ばねで連結された振子群の振動]](2010.03.19) ****[[血圧を生じさせる心筋の筋力]](2010.03.19) ****[[ばねで連結された質点群の横振動]](2010.03.18) ****[[運動座標系による運動方程式（２）]](2010.03.17) ****[[運動座標系による運動方程式（１）]](2010.03.17) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（３）]](2010.03.16) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（２）]](2010.03.16) ****[[運動方程式から軌道方程式まで（１）]](2010.03.16) ****[[弱い結合によるモード間のうなり]](2010.03.13) ****[[弾性棒とばねで連結された３連振子]](2010.03.09) ---- **2010.2(7) ---- ****[[雪上スピード競技と体重]](2010.02.23) ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（その２）]](2010.02.23) ****[[スリンキー近似]](2010.02.21) ****[[直線電流がつくる磁場内を動く正方形コイル]](2010.02.13) ****[[二重振子のモード]](2010.02.12) ****[[相対論と電磁場の変換]](2010.02.04) ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（試論）]](2010.02.03) ---- **2010.1(32) ---- ****[[運動エネルギーの相対性]](2010.01.31) ****[[糸でつながれた点電荷の運動]](2010.01.30) ****[[切れ目のあるリング電荷の回転]](2010.01.29) ****[[小球を発射する台車]](2010.01.28) ****[[水平面との無限回衝突]](2010.01.27) ****[[プランク質量とプランク長]](2010.01.27) ****[[AVATAR]](2010.01.26) ****[[水の入ったV字管つき台車]](2010.01.25) ****[[小球群による圧力とその解放]](2010.01.23) ****[[ダークマターが公転に与える影響]](2010.01.21) ****[[動く反射壁によるドップラー効果]](2010.01.20) ****[[干渉条件と反射則の矛盾]](2010.01.19) ****[[自転を考慮した鉛直投げ上げ]](2010.01.18) ****[[数値解析ツールPolymath]](2010.01.17) ****[[パテがくっついた棒の運動(2)]](2010.01.16) ****[[ばね連結台車のキャッチボール]](2010.01.14) ****[[斜面上の斜方投射と弾性衝突]](2010.01.13) ****[[完全非弾性の斜衝突]](2010.01.11) ****[[正方形枠の回転２]](2010.01.10) ****[[正方形枠の回転]](2010.01.10) ****[[斜面をすべる台上のばね振子]](2010.01.08) ****[[斜面上で回転静止する円筒]](2010.01.07) ****[[宇宙船のスピン低減装置]](2010.01.07) ****[[２次元ばね振子]](2010.01.06) ****[[降りるおもちゃ2題]](2010.01.05) ****[[ばねと摩擦のおもちゃ]](2010.01.04) ****[[ぶらんこ３題]](2010.01.04) ****[[実体振子]](2010.01.03) ****[[撃力を受けた回転軸連結棒の速さ]](2010.01.02) ****[[ばね振子への衝突合体]](2010.01.02) ****[[加速する斜面から飛び出す物体]](2010.01.02) ****[[支点の上下する振子]](2010.01.01) ---- **2009.12(35) ---- ****[[ターンテーブル上を歩く虫]](2009.12.31) ****[[衝突する振子のついた台車]](2009.12.30) ****[[ウェイトのついたターンテーブル]](2009.12.29) ****[[棒が回転軸から受ける力]](2009.12.28) ****[[二重振子の運動方程式]](2009.12.27) ****[[滑車を回して落ちるロープ]](2009.12.26) ****[[回転盤の親子]](2009.12.25) ****[[ばねにつりさげられたひも]](2009.12.24) ****[[パテがくっついた棒の運動]](2009.12.23) ****[[すべりからころがりへの移行]](2009.12.23) ****[[ばねにつりさげられた板上の物体]](2009.12.22) ****[[壁に立てかけた立方体]](2009.12.21) ****[[２直線に束縛された振子]](2009.12.21) ****[[バリスティック振子]](2009.12.19) ****[[つるした棒のつりあい]](2009.12.18) ****[[途中にばねのついた振子]](2009.12.18) ****[[階段をはずんでおりる小球]](2009.12.17) ****[[三角枠上でつりあう連結おもり]](2009.12.17) ****[[荷台からの丸太の落下]](2009.12.16) ****[[小球を投げ出して走る台車]](2009.12.15) ****[[棒にかけたひもの落下]](2009.12.11) ****[[斜方投射の到達領域]](2009.12.10) ****[[すべり台と壁を往復する小球]](2009.12.10) ****[[「計算バカ」への戒め]](2009.12.09) ****[[円弧状の面をもつ台と小球]](2009.12.08) ****[[降り注ぐ粒子群の中の物体]](2009.12.07) ****[[ばね振子への弾丸打ち込み]](2009.12.06) ****[[相対運動方程式の３つの解釈]](2009.12.06) ****[[すべるブロックに連結した振子]](2009.12.06) ****[[単振子と壁の間を往復する小球]](2009.12.05) ****[[虹の広がり角]](2009.12.03) ****[[斜面上で衝突をくりかえす２物体]](2009.12.03) ****[[ばねで連結された２物体]](2009.12.03) ****[[アトウッドの器械]](2009.12.02) ****[[斜面上のばねと小球]](2009.12.02) ---- **2009.11(22) ---- ****[[斜面をすべる実験室内の振子]](2009.11.30) ****[[振子にとびのる小球]](2009.11.30) ****[[台車上の円柱面を上る小球]](2009.11.29) ****[[ばねと壁の間を往復する小球]](2009.11.29) ****[[円筒面をころがる小円板]](2009.11.28) ****[[円筒面をすべる小球]](2009.11.27) ****[[半円筒に立てかけた棒]](2009.11.27) ****[[動く台と小物体]](2009.11.27) ****[[ボビン・バランス]](2009.11.26) ****[[FR車の加速]](2009.11.25) ****[[星空のパラドックス]](2009.11.24) ****[[トラス構造の変形]](2009.11.23) ****[[回転軸連結された２本の棒]](2009.11.22) ****[[ループコースター]](2009.11.22) ****[[斜面からの投射]](2009.11.21) ****[[モンキーハンティング問題]](2009.11.21) ****[[自由落下と鉛直投げ上げ]](2009.11.21) ****[[ばねつき台車に乗る小物体]](2009.11.15) ****[[テニスの壁打ち]](2009.11.15) ****[[棒と円板の連成振子]](2009.11.14) ****[[進行波と反射波によるうなり]](2009.11.12) ****[[車輪にクランク連結したスライダー]](2009.11.09) ---- **2009.10(4) ---- ****[[2次元宇宙の力学]](2009.10.10) ****[[場と源の対称性と次元]](2009.10.07) ****[[Phunにおける擬似遠心力と水面の形]](2009.10.06) ****[[回転容器から水があふれる条件]](2009.10.05) ---- **2009.09(11) ---- ****[[Algodooの物理量表示]](2009.09.25) ****[[Algodooのレーザー光]](2009.09.25) ****[[『Algodoo』の発売を喜ぶ]](2009.09.24) ****[[Phunで電気力線]](2009.09.23) ****[[ラザフォード散乱]](2009.09.22) ****[[猿とおもり問題 (2)]](2009.09.17) ****[[猿とおもり問題]](2009.09.17) ****[[宇宙ステーションからのボール投げ]](2009.09.11) ****[[雪崩の単純化モデル]](2009.09.09) ****[[月への航行時間]](2009.09.07) ****[[万有引力と電気力の比較]](2009.09.07) ---- **2009.08(8) ---- ****[[極座標系の速度・加速度]](2009.08.28) ****[[液体モデルと熱量保存問題(2)]](2009.08.27) ****[[液体モデルと熱量保存問題]](2009.08.27) ****[[比熱と温度変化のモデル]](2009.08.27) ****[[射出の緩衝効果について]](2009.08.20) ****[[高エネルギー荷電粒子のサイクロトロン運動]](2009.08.18) ****[[微分が割り算なら積分は掛け算だ！]](2009.08.08) ****[[圧力が体積に比例する理想気体の変化]](2009.08.04) ---- **2009.07(5) ---- ****[[単振り子の運動方程式]](2009.07.24) ****[[ツィオルコフスキーのロケット方程式]](2009.07.16) ****[[重いものほど速く落ちる？]](2009.07.09) ****[[２段圧縮機]](2009.07.03) ****[[古典力学における運動量とエネルギー]](2009.07.02) ---- **2009.06(6) ---- ****[[質量比３：１の衝突]](2009.06.17) ****[[遠心力か初速稼ぎか？]](2009.06.14) ****[[いまさらきけない「物理の疑問」]](2009.06.05) ****[[スーパーボールロケット]](2009.06.05) ****[[ベクトル公式と微分演算子]](2009.06.03) ****[[重力赤方偏移]](2009.06.02) ---- **2009.05(5) ---- ****[[アルマゲドン]](2009.05.18) ****[[ケプラーの第３法則]](2009.05.16) ****[[動く斜面上の運動(2)]](2009.05.14) ****[[宇宙ステーション内の擬似重力]](2009.05.13) ****[[『Phun』でスイングバイ]](2009.05.01) ---- **2009.04(21) ---- ****[[『Phun』で潮汐]](2009.04.30) ****[[『Phun』でランデブー]](2009.04.30) ****[[ニュートンの人工衛星]](2009.04.29) ****[[グリンピースカウンター21]](2009.04.26) ****[[斜方投射体の塀越え]](2009.04.25) ****[[グリンピースカウンター２]](2009.04.18) ****[[ラグランジアンの落とし穴]](2009.04.16) ****[[グリンピースカウンター]](2009.04.16) ****[[『Phun』でてのひらエンジン]](2009.04.11) ****[[『Phun』 で振子時計２]](2009.04.10) ****[[『Phun』で振子時計]](2009.04.08) ****[[太陽系のシミュレーション]](2009.04.05) ****[[棒振子ダービーのゆくえ]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―棒振子と自由落下]](2009.04.04) ****[[どっちがはやい？―さらなる単純化]](2009.04.04) ****[[連結棒振子のカオス]](2009.04.03) ****[[バンジー問題（くさり効果）の解析]](2009.04.03) ****[[どっちがはやい？]](2009.04.02) ****[[ふりこ三兄弟]](2009.04.02) ****[[衝突振子（理論編）]](2009.04.02) ****[[衝突振子（実験編）]](2009.04.02) ---- **2009.03(25) ---- ****[[斜方投射]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（負の加速度）]](2009.03.31) ****[[等加速度直線運動（1・3・5…の法則）]](2009.03.31) ****[[ファインマンのトラス問題]](2009.03.30) ****[[『Phun』でトラス]](2009.03.29) ****[[『Phun』で時計]](2009.03.26) ****[[『Phun』でくるま]](2009.03.26) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(8)]](2009.03.25) ****[[斜面上のばねによる打ち上げ（エネルギー分配）]](2009.03.24) ****[[斜面上のばねによる打ち上げ]](2009.03.23) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(7)]](2009.03.23) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(6)]](2009.03.21) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(5)]](2009.03.21) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(4)]](2009.03.20) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(3)]](2009.03.19) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(2)]](2009.03.18) ****[[『Phun』を力学シミュレータに(1)]](2009.03.18) ****[[『Phun』で半円筒振子]](2009.03.17) ****[[『Phun』でころりん（改良版）]](2009.03.17) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1，停止なし）]](2009.03.16) ****[[小球と木片の無限回衝突（e<1）]](2009.03.14) ****[[小球と木片の無限回衝突]](2009.03.13) ****[[電磁場の変換と荷電粒子の運動]](2009.03.07) ****[[電気力線の方程式]](2009.03.07) ****[[n次元超球の体積と表面積]](2009.03.01) ---- **2009.02(18) ---- ****[[『Phun』でモンキー（改良版）]](2009.02.24) ****[[『Phun』でモンキーハンティング]](2009.02.23) ****[[半球転がり振子]](2009.02.19) ****[[『Phun』でリアルなヒットペット]](2009.02.19) ****[[『Phun』でヒットペット（改訂）]](2009.02.18) ****[[瞬間の回転軸と慣性モーメント]](2009.02.17) ****[[半円筒の転がり振子（修正）]](2009.02.17) ****[[半円筒の転がり振子]](2009.02.16) ****[[パップス－ギュルダンの定理]](2009.02.16) ****[[動く斜面上の運動]](2009.02.15) ****[[ばねを介した衝突]](2009.02.14) ****[[『Phun』でころりん]](2009.02.13) ****[[『Phun』 でヒットペット]](2009.02.12) ****[[ヒットペットの力学]](2009.02.11) ****[[Interactive Physics]](2009.02.09) ****[[「あそぶつり」で遊んでみた]](2009.02.07) ****[[ペットボトルの起き上がり]](2009.02.04) ****[[電磁力と電磁誘導の対称性]](2009.02.03) ---- **2009.01(8) ---- ****[[斜面を転がり下りる速さ]](2009.01.27) ****[[棒がたおれる速さ]](2009.01.27) ****[[ヤングの干渉実験（実験）]](2009.01.23) ****[[ヤングの干渉実験（理論）]](2009.01.23) ****[[2次元の弾性衝突]](2009.01.20) ****[[連星系の相対運動]](2009.01.14) ****[[相対運動と換算質量]](2009.01.13) ****[[多変数関数のテーラー展開]](2009.01.06) ---- **2008.12(15) ---- ****[[質点系としての剛体の物理量]](2008.12.31) ****[[光のドップラー効果]](2008.12.28) ****[[Physics Illustrator]](2008.12.25) ****[[ジェットエンジンの逆推力装置]](2008.12.22) ****[[行列の対角化（覚書）]](2008.12.19) ****[[位置エネルギーに関する悩み]](2008.12.15) ****[[斜方投射の問題]](2008.12.13) ****[[仕事の主語を何にすべきか？]](2008.12.11) ****[[力学系と内力・外力]](2008.12.10) ****[[浮力による位置エネルギー]](2008.12.09) ****[[焦点距離を求めるAbbeの方法]](2008.12.07) ****[[潮汐力の大きさ]](2008.12.04) ****[[地球上で太陽引力の影響が小さいのはなぜか？]](2008.12.02) ****[[この世に摩擦がなかったら？]](2008.12.01) ****[[計量テンソルによるラプラシアン（覚書）]](2008.12.01) ---- **2008.11(6) ---- ****[[ゾーンプレート]](2008.11.30) ****[[平行軸の定理]](2008.11.27) ****[[物理は自由だ！]]（力学系解析のフレキシビリティについて考える）(2008.11.26) ****[[ガウス加速器]]を多段ならべたら，どんどん加速するか?(2008.11.25) ****[[微分演算子とベクトルの直積]](2008.11.24) ****[[電気双極子場]](2008.11.23) 2012-02-06T11:36:14+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/1.html &ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=omochabako.gif)[[　　本家HP>http://homepage2.nifty.com/ysc/index.htm]]　---　あなたは &counter() 人目のお客様です。　--- ---- メモ代わりにwikiを開いてみた。ご意見・ご質問等の投稿，ご自由にどうぞ。 ****[[かんちがいに学ぶ物理]] ****[[Algodooで物理問題に挑戦！]] ****[[相対論入門セミナー]] ****[[『Phun』による力学シミュレーション]] #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=Algodoo2.jpg) [[「Algodooで学ぶ力学」出版]] ， [[（工学社ページ）>http://www.kohgakusha.co.jp/books/detail/978-4-7775-1634-6]] ---- - 科学は実験できるから楽しい。シミュレーションも模擬実験、パソコンは誰でも使える時代になったからこそ、模擬実験の楽しさが味わえるようになった。ありがたいことである。 -- 佐藤　正助 (2009-08-20 16:54:14) - まっけさん，素敵なコメントありがとうございます。 -- Yokkun (2009-08-20 18:40:26) - 年内に３万アクセス達成しました。来年もどうぞよろしくお願いいたします。 -- Yokkun (2009-12-28 10:27:21) - PDFコマの歳差運動の理解について----歳差と章動のKlein-Sommerfeld流の定義は不合理です．コマの線形近似方程式では早い円運動モードを章動モード，遅いそれを歳差モードと定義しますが，このようにモードで定義するほうがはるかにご合理的です．小生もHPを準備中で，未だ非公開ですが，一度小生のこのhttp://45189901.main.jp/EQofTop.htmlをお開き下さり，ご感想でもいただければ幸いです． -- 村上 力 (2011-07-10 07:30:42) - 動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？この項の説明は間違っています。「光は慣性の影響を受けないので真上に進む」なんてことばにのせられてますよ。光が斜めに出ているように見えるのは慣性によるものではありません。 -- 坂本　大介 (2011-07-11 18:02:13) - 貴重なコメントをありがとうございました。村上さんのコメントは参考にさせていただきます。ただちに何らかの反応をするには私の知識が浅すぎるようです。坂本さんのものはちょっと趣旨が理解できませんでした。 -- Yokkun (2011-07-16 17:45:59) #comment(size=70, nsize=20, vsize=3, num=20) ---- ****[[球面三角形と球面過剰]](2012.02.06) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1380886668]]のQ&Aより。球面三角形の面積は，球面過剰に半径二乗をかけたものになる。 ---- ****[[一様磁場中の荷電粒子の運動]](2012.02.02) [[物理のかぎしっぽ掲示板>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=29815&mode2=preview_pc]]から。磁場が角速度ベクトルと直結する軸性ベクトルであることを象徴するような議論。 ---- ****[[回転の記述と軸性ベクトル（５）]](2012.01.31) [[回転の記述と軸性ベクトル（４）]]において磁場が軸性ベクトルであることをその源から解釈した。続いて電場を含めて電磁場が２階反対称の４元テンソルを構成することを示して，磁場の軸性を深く理解する礎としたい。 ---- ****[[回転の記述と軸性ベクトル（４）]](2012.01.30) [[回転の記述と軸性ベクトル（３）]]までの議論で，角速度は回転軸方向を向く軸性ベクトルとして定義されるが，その本質は２階反対称テンソルの「代用」であることを示した。それに対して磁場が軸性ベクトルであるとはどういうことなのか考察してみる。 ---- ****[[回転の記述と軸性ベクトル（３）]](2012.01.30) [[回転の記述と軸性ベクトル（２）]]に引き続いてベクトル積と軸性ベクトルの関連を考察する。 ---- ****[[カージオイドを軌道とする中心力場]](2012.01.30) 軌道の形状から中心力場を逆算する問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1180419221]]より。 ---- ****[[回転の記述と軸性ベクトル（２）]](2012.01.29) [[回転の記述と軸性ベクトル（１）]]では，軸性ベクトルとのベクトル積が双対の関係にある２階反対称テンソルとの行列積に他ならないことを示した。次いで軸性ベクトルの変換性を考察する。 ---- ****[[回転の記述と軸性ベクトル（１）]](2012.01.28) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q7265109.html]]に，角速度ベクトルの方向が回転面に垂直であるのはなぜか？という物理数学上の基本問題が投げかけられた。ポイントを覚え書きとしてまとめておきたい。 ---- ****[[円板の瞬間回転中心]](2012.01.27) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1380205503]]より。[[スィートスポット（撃心）の位置]]の類題。 ---- ****[[回転する放物線上に束縛された質点]](2012.01.25) [[物理のかぎしっぽ>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=29757&mode2=preview_pc]]の掲示板から。鉛直軸まわりに定速回転する放物線上に束縛された質点の平衡と安定性を問う。 ---- ****[[曲線座標における微分と接続係数]](2012.01.18) 曲線座標における微分で生じる，正規直交基底の回転による補正項は，リーマン幾何学における接続項に他ならないことが確認できた。 ---- ****[[雪の付着による飛行機の減速]](2012.01.11) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1179139871]]より。雪の付着によって減速する飛行機の運動。 ---- ****[[振動の減衰と抵抗の係数]](2012.01.11) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1179148626]]よりひろった問題。減衰率によって抵抗の係数$$\gamma$$と減衰なし角振動数$$\omega$$との関係を得る。 ---- ****[[ひものついた風船の運動]](2012.01.10) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q7234037.html]]より。質量が無視できないひものついたヘリウム風船の振動。私のオリジナルの問題[[ばねにつりさげられたひも]]に類似だが，ばねがなくとも振動する。 ---- ****[[水を噴いて走る水槽]](2012.01.05) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q7225398.html]]より。水槽に車輪が付いていて，排出口から水を噴いて走る問題。 ---- ****[[力学系と内力・外力]] 複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。再掲。 ---- ****[[浮力による位置エネルギー]] 浮力は保存力であり，したがってポテンシャルが定義できる。 浮力による位置エネルギーについて考察してみよう。 [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1178600046]]でこれに関する質問があったので，過去につくったページを再掲。 ---- ****[[水位下降速度一定のタンク形状]](2011.12.15) ４次関数$$y=ax^4$$を$$y$$軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1277382782]]より。 ---- ****[[拘束系と半拘束系]](2011.11.13) [[すべる棒が壁を離れるとき]]の問題に「壁を離れない」拘束を付加して比較してみた。 ---- ****[[母星質量が突然半減したときの惑星軌道]](2011.11.08) 恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1174937711]]より。 ---- ****[[ビルを越える最小速度]](2011.10.24) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1473711449]]より。ビルをぎりぎり越える最小速度の条件を問う。 ---- ****[[偏心軸で斜面をすべる円板]](2011.10.19) 鉛直に立てた２枚の三角板にはさまれた円板が，偏心軸で三角板の斜辺にぶらさがってすべる運動について。T大学工学部の院試の過去問だが，Algodooシミュレーションによってその「不備」が浮かび上がった。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1373599348]]より。 ---- ****[[「Algodooで学ぶ力学」出版]](2011.10.06) 拙著「物理シミュレータAlgodooで学ぶ力学」が出版されることになりました。 ---- ****[[太陽と月から受ける引力の比]](2011.09.12) 地球の位置において，太陽と月から受ける引力の比を概算する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1470846144]]より。 ---- ****[[質量が減少する主星まわりの惑星の運動]](2011.08.22) 質量が減少する主星のまわりを公転する惑星の運動がどう変化するか，という東北大院試の問題。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6958062.html]]より。 ---- ****[[二重連結棒の水平面回転]](2011.08.22) 二重連結棒をなめらかな水平面上で回転させるとき，定常回転時に生じる振動の問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1369108983]]より。 ---- ****[[F=ma か ma=F か]](2011.08.11) [[Yahoo!知恵袋より>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1468632519]]運動方程式は，F=ma か　ma=F　か，という議論。 ---- ****[[時空の対称性と保存則]](2011.08.11) ちょっとおマセな高校生の質問から。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1461896624]]より。 ---- ****[[中空円筒と円柱の微小振動]](2011.08.07) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1068163460]]より。中空円筒内をころがる円柱の微小振動。円筒を固定した場合と固定しない場合。 ---- ****[[高所からの斜方投射の到達領域]](2011.08.04) [[斜方投射の到達領域]]では，与えられた初速で斜方投射をしたときに到達できる３次元領域を求めたが，今度は高所からの斜方投射で落下点の最大水平距離がどれだけ伸びるかを問う。Yahoo!知恵袋で地上到達領域の面積比較の質問が出されて考え始めたが，その後取り消されたのか見失ってしまった。 ---- ****[[単振動をエネルギー保存から解く]](2011.07.20) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1367000713]]より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。 ---- ****[[２球を入れた円筒の安定]](2011.06.25) 久しぶりにおもしろい問題に出会った。２球を入れた円筒が倒れないための円筒の最小質量を求める。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1165173351]]より。 ---- ****[[自然長でばねから離れる物体]](2011.06.05) 鉛直ばねについたトレーに載せた物体は，必ずばねの自然長位置でトレーを離れる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1463774384]]より。 ---- ****[[スィートスポット（撃心）の位置]](2011.05.10) Yahoo!知恵袋からひろったテーマだが，質問取り消しによって回答の機会は逃した。バットやラケットにおけるスィートスポットと慣性モーメントの問題。 ---- ****[[ボウリングの軌道]](2011.05.01) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1061296550]]でみつけた衝突問題。ボウリングのボールの軌道がピンとの衝突でそれる角度の最大値を求める。 ---- ****[[３次元ベクトルの２方向分解（覚え書き）]](2011.04.25) ３次元ベクトルを任意の方向単位ベクトルに平行な成分と垂直な成分に分ける。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1260889357]]の質問から。 ---- ****[[固有ベクトル展開を用いた極限問題]](2011.03.08) 早稲田大学院試の過去問に挑戦。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1357100068]]より。 ---- ****[[パウリ行列と演算子の指数関数]](2011.03.08) パウリ行列の特性と，パウリ行列を含む演算子の指数関数の問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1057120230]]より。 ---- ****[[量子力学の基本定理証明における２つの表現（覚え書き）]](2011.03.01) エルミート演算子の固有値の実数性，異なる固有値に対する固有関数の直交性…という基本定理の証明における，２つの表記法（積分表記，ブラケット表記）を比較する。 ---- ****[[速度に直交する力を受ける運動]](2011.02.28) 等速円運動する物体は，速度に直交する向心力を受ける。逆に速度に直交する力を受ける物体は等速円運動をするだろうか？[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1255943382]]より。 ---- ****[[相対論における運動エネルギー]](2011.02.28) ニュートン力学で$$mv^2/2$$である運動エネルギーが，相対論で$${\it\Delta}mc^2$$となるわけ。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1155787081]]より。 ---- ****[[一杯の水に含まれる卑弥呼の飲んだ水分子]](2011.02.22) コップ一杯の水に，かつて卑弥呼の身体を通過した水分子がどれほど含まれているだろうか？　膨大な数を相手にするときには，いい加減な憶測は危険である。　[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1456102014]]より。 ---- ****[[作用反作用のかんちがい]](2011.02.21) 力学初歩でよくあるかんちがい。おとなとこどもがおしくらまんじゅう。おとながこどもを押す力と，こどもがおとなを押す力はどちらが強いか？ ---- ****[[理想気体の内部エネルギー]](2011.02.21) $${\it\Delta}U=C_v{\it\Delta}T$$の式は，定積変化でなくても使えるのか？という熱力学のFAQ。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1156010251]]より。 ---- ****[[弾性衝突としてのスイングバイ]](2011.02.07) スイングバイは，簡単にいえば探査機と惑星との弾性衝突である。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1455139024]]よりひろった１次元弾性衝突としてのスイングバイの考察を２次元にひろげてみた。 ---- ****[[方位角の関数としての惑星のエネルギー]](2011.02.06) 惑星の位置エネルギーおよび運動エネルギーを，方位角の関数として記述する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1355082683]]より。 ---- ****[[斜め方向のドップラー効果（難問）]](2011.02.04) ちょっとした難問。斜め方向のドップラー効果の近似式を用いる問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1054873615]]より。 ---- ****[[極性ベクトルと軸性ベクトル]](2011.02.02) 人にわかりやすく説明を試みることは，自分の理解を大いに深めることができるチャンス。その見本のようなＱ＆Ａ。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1454804399]]より。 ---- ****[[イオン化エネルギーと原子の大きさ]](2011.01.31) イオン化エネルギーは，電気力による位置エネルギーの絶対値に他ならないから，古典的対応で原子の大きさを見積もる情報となる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1154449061]]より。 ---- ****[[コア形成による惑星の自転加速]](2011.01.27) コア（核）形成にともなって惑星の自転が加速する単純モデル。惑星自転の起因に関してひとつの示唆を与える良問。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1454444569]]より。 ---- ****[[高エネルギー正面衝突の有効性]](2011.01.26) 加速された陽子-陽子間の正面衝突が，静止した陽子への衝突に比して有効であること。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1454288199]]より。 ---- ****[[運動量から速さを求める]](2011.01.24) 相対論的な速さをもつ高エネルギー粒子の場合に，運動量から速さを求める問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1454307644]]より。 ---- ****[[1m離れた1kgの質点が万有引力でくっつく時間]](2011.01.23) この引力について考えたことのある人は多いだろうが，くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか？　高校生（？）が思いついたおもしろい問題。結果は１日ちょっと。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1054155695]]より。 ---- ****[[SPring-8による高エネルギーγ線]](2011.01.23) SPring-8においては，電子とレーザーの衝突によって高エネルギー$$\gamma$$線を得ることができる。これは基本的に電子と光子の弾性衝突問題である。 ---- ****[[くさりの落下と抗力]](2011.01.22) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1353774478]]より。机上に落下するくさりの重心運動と抗力の変化に関する問題。 ---- ****[[波動のローレンツ変換]](2011.01.22) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6465535.html]]でおもしろい問題をみつけた。波動の式をローレンツ変換すると，時間の遅れを含むドップラー効果と速度合成則が一度に出てくる。 ---- ****[[Bowl & Ball]](2011.01.13) Algodooでそのうち試してみようと思っていた疑似球。その気にさせる問題にであった。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1453623984]]より。 ---- ****[[位置エネルギーはどこにあるのか？]](2011.01.13) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1453656554]]より。位置エネルギーはいったいどこにあるのか？という議論。 ---- ****[[回転方向で差のあるブレーキ]](2011.01.11) 回転方向によって，その強さに差のあるブレーキの問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1153517291]]より。 ---- ****[[マイクロ波スペクトルによる星間分子の同定]](2011.01.11) [[CO分子のマイクロ波スペクトル]]の続き。野辺山のデータから星間物質シアノアセチレン$${\rm HC}_3{\rm N}$$を同定する。 ---- ****[[CO分子のマイクロ波スペクトル]](2011.01.10) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1253491417]]より。一酸化炭素分子によるマイクロ波共鳴吸収の周波数間隔から分子の慣性モーメントおよび結合距離を求める。 ---- ****[[月の公転周期]](2010.12.13) 月の公転周期を計算してみる。精度よく計算するためには，２体問題としての考察が必要である。 ---- ****[[動摩擦力を受ける水平ばね振子]](2010.12.11) 一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6374969.html]]から。 ---- ****[[球面に拘束された質点の運動]](2010.12.07) 一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1051639315]]から拾ったネタ。 ---- ****[[０の０乗は？]](2010.11.30) たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。 ---- ****[[回転系から見た等速直線運動]](2010.11.24) 回転円板の上で見た等速直線運動を解析する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1050881080]]より。 ---- ****[[反対称テンソルの成分展開]](2010.11.18) 反対称テンソルをLevi-Civita記号と成分で展開する。[[かぎしっぽ>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27787&mode2=preview_pc]]より。 ---- ****[[論理積としての法則]](2010.11.15) ボイル・シャルルの法則および運動方程式において，部分法則の論理積としての法則の発展・完備という歴史的または教育的手順が共通して見られる。 ---- ****[[遠心分離の速さ]](2010.11.15) 遠心分離機による水中微粒子の分離速度の問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1250416037]]より。 ---- ****[[タンクから噴出する水の到達距離]](2010.11.15) 水位が決められたタンクの側面に開けた穴から，水平に噴出する水の到達距離を最大にする穴の高さを求める。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1250413607]]より。 ---- ****[[回折格子における近似の「矛盾」]](2010.11.13) 近似は，そのレベルを意識して使わないと落とし穴にはまることになる。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6317346.html]]より。 ---- ****[[重力多体系]](2010.11.13) 万有引力を及ぼしあう$$N$$個の天体系において，特定の天体が受ける力の記述。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6316801.html]]より。 ---- ****[[抵抗を受けるロケットの運動方程式]](2010.11.11) 速度に比例する抵抗を受けるロケットの運動を調べる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1450155829]]より。 ---- ****[[中心力は保存力である]](2010.11.09) 中心力は，中心力であることをもってただちに保存力であることが示される。 ---- ****[[保存力の条件]](2010.11.09) ある力が保存力である条件は，力のベクトル場の回転がゼロであること。 ---- ****[[等質量の弾性斜衝突]](2010.11.08) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1350034733]]より。等質量の質点A，Bがあり，静止したBにAが弾性衝突をすると，衝突後の相互の運動方向が直交することの証明。 ---- ****[[双子の交信]](2010.11.08) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1449924529]]より。地球にとどまるAとアルファケンタウリまで旅行するBとの交信。相対論の初歩的な問題。 ---- ****[[GPS衛星の時計補正]](2010.11.05) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1249689122]]より。GPS衛星の時計補正の計算。一般相対論のきわめて身近な応用の好例。 ---- ****[[中心軸が連結された２円板]](2010.10.25) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1349257143]]から拾ったネタ。中心軸が棒で連結され，摩擦によって転がりに移行する２円板の系の運動 ---- ****[[ベクトル演算--成分 vs 行列--]](2010.10.24) ベクトル演算公式の証明に対して，成分計算と行列計算を比較してみた。 ---- ****[[ベクトル演算の行列化(3)]](2010.10.23) 続いて微分公式。コンパクトにはなるものの，慣れないとなかなか気持ちよくいかないかもしれない（＾＾；）。 ---- ****[[ベクトル演算の行列化(2)]](2010.10.21) 基本公式の確認とベクトル演算公式の証明。 ---- ****[[ベクトル演算の行列化(1)]](2010.10.21) ベクトルの内積は，行ベクトルと列ベクトルの行列積に他ならない。ベクトル積や微分演算子を含めて，ベクトル演算をすべて行列化してビジュアルにこなしたいというワガママ。 拙著[[「特殊相対性理論compact」>http://homepage2.nifty.com/ysc/Rel.pdf]]で用いた表記をもとにしている。 ---- ****[[滑車が糸から受ける力]](2010.10.20) 滑車が糸から受けるのは張力ではない？　基礎力学の問題に潜む「ゴマカシ」＝単純化にメスを入れて解明する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1148986416]]のＱ＆Ａから。 ---- ****[[ベクトル場の「勾配」？]](2010.10.19) 電磁波の波動方程式の導出過程で出てくる，ベクトル場の「勾配（gradient）」とは何か？[[かぎしっぽ掲示板>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27622&mode2=preview_pc]]より。 ---- ****[[速さの時間微分と加速度の大きさ]](2010.10.17) ほとんど自明のことだが，「速さの時間微分と加速度の大きさ」は異なるという話。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1448826504]]より。 ---- ****[[つまづいて倒れる直方体]](2010.10.14) 台車の急停止によって倒れる直方体の問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1448607234]]から。 ---- ****[[極座標による微分導出への回転の活用(3)]](2010.10.14) 最後はラプラシアンで締めましょう。 ---- ****[[極座標による微分導出への回転の活用(2)]](2010.10.13) 発散の計算の成功に気をよくして，次は回転。 ---- ****[[極座標による微分導出への回転の活用(1)]](2010.10.13) 極座標によるスカラー場やベクトル場の微分演算（勾配・発散・回転等）の導出方法はいろいろあるが，いずれもなかなか骨の折れるシロモノ。運動座標系における「回転」を用いる方法を思いついた。 ---- ****[[エネルギー原理からエネルギー保存へ]](2010.10.08) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1248311462]]より。保存力による仕事と位置エネルギーの関係をすっきりさせる。 ---- ****[[撃力を受けた連結棒の運動]](2010.10.06) ２本の棒が回転軸連結された系の一端が撃力を受けたときの運動。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6225947.html]]より。 ---- ****[[安定を無視したつりあい問題]](2010.10.01) 安定を無視し，単に力のつりあい条件のみで「静止」を語る悪問が後を絶たない。現実にありえない状態を問題にするのはいかがなものか？ ---- ****[[３力のつりあい実験器]](2010,10.01) 「３力のつりあい実験器」が，「３力のつりあい」を確かめるものになっていることの証明。 ---- ****[[曲率テンソルの展開]](2010.10.01) 一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル（リーマンテンソル）をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率（リッチスカラー）で展開する。 ---- ****[[たまごころりん]](2010.09.24) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1347480378]]のQ&Aから。なま卵とゆで卵を並べて斜面を転がすと，どっちが早くゴールに着くか。 ---- ****[[ローレンツ短縮と電磁場の変換]](2010.09.13) [[相対論と電磁場の変換]]において，電磁場の変換をその源＝電荷とその移動にさかのぼって考察したが，定性的に簡明な「電子系」による思考実験を試みた。 ---- ****[[連星系の崩壊]](2010.09.01) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6149778.html]]のQ&Aより。相互に円軌道を描く連星系の回転が突然静止したとして，接近衝突までの時間を問う。 ---- ****[[ばねで連結された２質点の縦振動]](2010.08.21) オーソドックスな連成振動の問題。 ---- ****[[有効ポテンシャルと惑星の軌道]](2010.08.12) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1145082241]]への回答をきっかけに，有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。 ---- ****[[電気力線の「分岐点」]](2010.07.28) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1144351016]]より。２つの正電荷から出る力線の「分岐点」について。 ---- ****[[栓が抜けた浴槽への注水]](2010.07.27) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1444255384]]より。排水栓が抜けている浴槽への注水時間を求めよ，というちょっと意地悪な問題。 ---- ****[[質量を無視できないばねの伸び]](2010.07.27) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6065964.html]]のQ&Aから。質量が無視できないばねを鉛直につるした場合の伸びについて。 ---- ****[[円柱の段差乗り上げ]](2010.07.26) 角運動量保存を用いる問題。転がってきた円筒が，段差を乗り上げないための限界高さを求める。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1444129584]]より。 ---- ****[[中心力下の円運動まわりの微小振動]](2010.07.22) 久しぶりに，「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。$$r$$の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき，そのまわりの微小振動に関する問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1144034961]]より。 ---- ****[[中心力-krを受ける質点の運動（続き）]](2010.07.15) デカルト座標で計算しなおしてみた。 ---- ****[[中心力-krを受ける質点の運動]](2010.07.15) 距離に比例する復元力を中心力として受ける質点の軌道運動。 ---- ****[[重心運動と相対運動の角運動量]](2010.07.14) 質点系の角運動量が，重心運動の角運動量と重心まわりの相対運動の角運動量の和として表されること。慣性モーメントに関する「平行軸の定理」の根拠でもある。 ---- ****[[衝突パラメータと散乱角]](2010.07.14) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1043574005]]から。軌道方程式を経ずに散乱角と衝突パラメータの関係を得る。 ---- ****[[バトンへの衝突とその回転]](2010.07.08) ３つの保存則を用いる問題。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q6022082.html]]から。 ---- ****[[重心運動と相対運動のエネルギー]](2010.07.08) 質点系の運動エネルギーが，重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーに分離できることの証明。$$N$$質点系への一般化は面倒だと思いましたが，すっきりまとまりました。 ---- ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？（２）]](2010.06.21) 続編。相対論的な速度合成によってつじつまのあう，光に対する相対性原理。 ---- ****[[動く光源はなぜ斜めに光を出すのか？]](2010.06.16) かつて私も疑問に思いながら，深く考えることなく未解決のまま忘れていたものである。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1142338881]]から。 ---- ****[[おわんとおはしの問題]](2010.06.13) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5962844.html]]より。つりあいの問題としては見かけるが，その微小振動までを考察する。 ---- ****[[すべる棒が壁を離れるとき]](2010.06.10) Yahoo!知恵袋から。回答しかけたら質問者が削除してしまった。ちょっとドキッとした問題。 ---- ****[[ホールインツー]](2010.06.10) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1142012011]]から。斜面でバウンドさせたボールをカップイン。 ---- ****[[フーコーの振子の回転角]](2010.05.20) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1441058229]]より。なぜ，緯度の正弦に比例するのか。 ---- ****[[バランスボール（カチカチボール）]](2010.05.15) 「ニュートンのゆりかご」などという呼び名もある衝突球。Algodooの精度重視で，巨大なものをつくってみた。 ---- ****[[ラザフォード散乱の軌道]](2010.05.07) ラザフォード散乱の軌道の導出は，古典的には惑星軌道の導出とほとんど変わらない。結果らしいものがわかったので，自分なりに導出してみた。 ---- ****[[軌道方程式から万有引力の法則へ]](2010.05.06) [[運動方程式から軌道方程式まで（１）]]で万有引力の法則を含む運動方程式から，惑星の軌道方程式を得た。今度はその逆で，軌道方程式から万有引力の逆２乗則の成立を導出する。 ---- ****[[仮想仕事の原理]](2010.05.04) トラス構造などの静力学において威力を発揮する仮想仕事の原理。初歩的な応用問題である。 「力学」（原島鮮）からひろった。 ---- ****[[支点の水平振動によって励振される振り子]](2010.05.02) 「解析力学」（久保）の演習より。支点が水平に強制振動するときに起こる振り子の励振（共鳴）とうなり。 ---- ****[[並進・回転の独立な振動]](2010.04.30) 「解析力学」（久保）にある問題。２本のばねでつりさげられた棒の並進・回転の振動。 ---- ****[[Ｕ字管内の液柱の振動]](2010.04.26) よく見る問題だが，Ｑ＆ＡサイトでみかけたのをきっかけにAlgodooのネタにしてみた。 ---- ****[[軌道座標系の「等加速度」運動]](2010.04.26) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1039985085]]の質問から。軌道座標系において加速度が一定の運動を考察する。 ---- ****[[ポテンシャルの谷間の振動周期]](2010.04.24) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139905321]]の質問から。なかなかホネのある問題？ ---- ****[[運動座標系のシステマティックな導出(3)]](2010.04.18) 回転の角速度ベクトル$$\boldsymbol\omega$$を用いた，速度・加速度の導出。 ---- ****[[運動座標系のシステマティックな導出(2)]](2010.04.18) 3次元極座標系への応用を検討する。 ---- ****[[運動座標系のシステマティックな導出(1)]](2010.04.17) 運動座標系への座標変換や，速度・加速度の記述について，線素および基底ベクトルを基本情報としてシステマティックに導出する手順を整理してみたい。 ---- ****[[軌道方程式から位置計算まで]](2010.04.15) [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139406821]]のQ&Aから。惑星の位置計算に，こんな解析的な方法があることを知った。 ---- ****[[回転の慣性]](2010.04.02) [[ばね振子に励振される振子(2)]]から思いついた問題。回転の慣性が振動周期に影響を与えるひとつの例。 ---- ****[[ばね振子に励振される振子(2)]](2010.03.31) ばねにつながれて振動する台の円筒内面上ですべる小球の運動。数学的には，[[ばね振子に励振される振子]]とまったく同じ。 ---- ****[[運動方程式と力学的エネルギー保存]](2010.03.30) 一般に，力学的エネルギー保存則は，運動方程式の経路積分であるエネルギー原理から得られる。よく見かける相対運動の問題場面で，運動方程式から力学的エネルギー保存を導出するという「遠回り」をやってみた。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5784604.html]]のQ&Aから。 ---- ****[[ばね振子に励振される振子]](2010.03.30) ばねによって振動するおもりに連結された振子の励振とモード間のうなり。 ---- ****[[ばねで連結された振子群の振動]](2010.03.19) バークレー物理学コース「波動」より。ばねで連結された振子群に生じる定常波と，分散関係。 ---- ****[[血圧を生じさせる心筋の筋力]](2010.03.19) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5762997.html]]より。医療関係学部の問題だろうか？ ---- ****[[ばねで連結された質点群の横振動]](2010.03.18) 弦の定常波の不連続モデル。バークレー物理学コース「波動」を参考にした。 ---- ****[[運動座標系による運動方程式（２）]](2010.03.17) いよいよ本題。加速系への座標変換の副作用として表れる「慣性力」の数々。 ---- ****[[運動座標系による運動方程式（１）]](2010.03.17) 最も一般的な運動座標系における運動方程式の記述について整理してみた。[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5755183.html]]のQ&Aにヒントを得て。 ---- ****[[運動方程式から軌道方程式まで（３）]](2010.03.16) 軌道の微分方程式を積分して，軌道方程式を得る。 ---- ****[[運動方程式から軌道方程式まで（２）]](2010.03.16) 極座標による運動方程式から，軌道の微分方程式までを追う。 ---- ****[[運動方程式から軌道方程式まで（１）]](2010.03.16) 「万有引力の法則」を力の法則として含む運動方程式から，惑星の楕円軌道を導く過程はなかなか難しいと思っていたが，何とか一から自分で展開できる範囲であるように思えたので，整理してみた。 ---- ****[[弱い結合によるモード間のうなり]](2010.03.13) 弱い結合をもった２つの振動子の，規準振動（モード）の重ね合わせによって生じるうなりの解析。バークレー物理学コース「波動」より。 ---- ****[[弾性棒とばねで連結された３連振子]](2010.03.09) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5721800.html]]のQ&Aより。弾性棒とばねで連結された３個の質点のモード（規準振動）を求める。 ---- ****[[雪上スピード競技と体重]](2010.02.23) まさに今，話題に事欠かない冬季オリンピック。雪上でのスピード競技と体重との関係について。基本的には「次元」の問題？ ---- ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（その２）]](2010.02.23) [[かぎしっぽ>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=26484&mode2=preview_pc]]のQ&Aより。[[コンデンサーの貯水槽モデル（試論）]]に続く試論第２弾。苦肉の借金対策？ ---- ****[[スリンキー近似]](2010.02.21) 2本のばねに引かれた質点の縦振動と横振動における，スリンキー近似（自然長$$\ll$$平衡長）と小振動近似（変位$$\ll$$平衡長）の比較。 ---- ****[[直線電流がつくる磁場内を動く正方形コイル]](2010.02.13) 直線電流から正方形コイルが離れていくときの誘導起電力を求める問題。 ---- ****[[二重振子のモード]](2010.02.12) 二重振子の規準振動（ノーマルモード）のときに現れる，[[糸でつながれた点電荷の運動]]と同じ最大速問題。 ---- ****[[相対論と電磁場の変換]](2010.02.04) [[物理のかぎしっぽ>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=26267&mode2=preview_pc]]の質問から。電磁場の変換を場の源からさぐる。 ---- ****[[コンデンサーの貯水槽モデル（試論）]](2010.02.03) [[コンデンサーの貯水槽モデル>http://homepage2.nifty.com/ysc/chosui.pdf]]は，並列つなぎは水槽の水平連結を考えればよく簡単だが，直列つなぎのモデルに難がある。コンデンサーのつなぎかえ問題における貯水槽モデルの活用試論。 ---- ****[[運動エネルギーの相対性]](2010.01.31) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5621531.html]]のQ&Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。 ---- ****[[糸でつながれた点電荷の運動]](2010.01.30) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5633608.html]]のQ&Aより。糸でつながれた点電荷の最大速さを求める問題。出題者は，束縛条件を考慮したのだろうか？ ---- ****[[切れ目のあるリング電荷の回転]](2010.01.29) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5629461.html]]のQ&Aより。切れ目のあるリング形状の電荷をもった物体が電場から力を受ける場合の回転運動の問題。 ---- ****[[小球を発射する台車]](2010.01.28) 金沢大'93入試問題より。相対運動がからんだ分裂の問題。 ---- ****[[水平面との無限回衝突]](2010.01.27) 無限回衝突問題の基本。 ---- ****[[プランク質量とプランク長]](2010.01.27) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5625719.html]]のQ&Aより。プランク質量からプランク長を求める？？ ---- ****[[AVATAR]](2010.01.26) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5622932.html]]のQ&Aより。映画「AVATAR(アバター)」のパンフレットでみつけた矛盾について。相対論の問題。 ---- ****[[水の入ったV字管つき台車]](2010.01.25) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5619907.html]]のQ&Aより。台車に固定されたV字管内の水の運動に伴う台車の運動。 ---- ****[[小球群による圧力とその解放]](2010.01.23) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5614944.html]]のQ&Aより。分子運動論的な問題。 ---- ****[[ダークマターが公転に与える影響]](2010.01.21) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5610380.html]]のQ&Aより。球対称の不明の質量分布（ダークマター）が太陽系に存在する場合の地球の運動について。 ---- ****[[動く反射壁によるドップラー効果]](2010.01.20) 音源および観測者が静止しており，壁が動く場合のドップラー効果について。Y氏の急逝を悼みつつ。 ---- ****[[干渉条件と反射則の矛盾]](2010.01.19) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5604592.html]]のQ&Aより。私もかつて持ったことのある疑問である。なぜ干渉条件は反射の法則を逸脱するかというもの。 ---- ****[[自転を考慮した鉛直投げ上げ]](2010.01.18) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5601173.html]]より。[[Neilの放物線>http://homepage2.nifty.com/ysc/zure.pdf]]と同じ問題だとピンときた。 ---- ****[[数値解析ツールPolymath]](2010.01.17) 微分方程式の数値積分を簡単かつ手軽にできる解析ツールとして，Polymath を導入してみた。 ---- ****[[パテがくっついた棒の運動(2)]](2010.01.16) [[パテがくっついた棒の運動]] の軸なし水平運動版。「ファインマン物理学」演習問題より。 ---- ****[[ばね連結台車のキャッチボール]](2010.01.14) 東工大'03入試問題をヒントにしたオリジナル問題。ばねで連結された２つの台車の間で小球が放物運動する。 ---- ****[[斜面上の斜方投射と弾性衝突]](2010.01.13) [[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5588769.html]]より。斜面上で斜方投射された小球が完全弾性衝突を繰り返す。 ---- ****[[完全非弾性の斜衝突]](2010.01.11) はねかえり係数がゼロで，摩擦なしというおよそありそうにない設定の場合，いわゆる斜衝突において合体はありえない。 ---- ****[[正方形枠の回転２]](2010.01.10) 鉛直面内に立てて，重力を考慮する。ひとまず，姿勢保持に必要なトルクの導出を考えてみたい。 ---- ****[[正方形枠の回転]](2010.01.10) 正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。 ---- ****[[斜面をすべる台上のばね振子]](2010.01.08) 埼玉大'03入試問題より。斜面をすべりおりる台の上で振動するばね振子の相対運動の問題。 ---- ****[[斜面上で回転静止する円筒]](2010.01.07) オリジナル問題。斜面上で円筒がすべり回転しながら静止し続ける条件を求める。 ---- ****[[宇宙船のスピン低減装置]](2010.01.07) 「ファインマン物理学」演習より改題。スピンする宇宙船からおもりを放って回転を止める。 ---- ****[[２次元ばね振子]](2010.01.06) 阪大'06（後期）入試問題より。左右両側から２本のばねに引かれた質点の２次元の振動。 ---- ****[[降りるおもちゃ2題]](2010.01.05) 「おもちゃの科学２」（戸田）より。「俵ころがし（ピョコピョコカプセル）」と「はしご下り」を2題。 ---- ****[[ばねと摩擦のおもちゃ]](2010.01.04) 「おもちゃの科学１」（戸田）より。重力と摩擦によるばねの自励振動を用いたおもちゃのシミュレーションを２題。 ---- ****[[ぶらんこ３題]](2010.01.04) お正月らしく（？），末広がりで縁起のよいぶらんこ３題。基本的な励振のしくみは同じ。 ---- ****[[実体振子]](2010.01.03) 「ファインマン物理学」演習より。実体振子の振動特性について。 ---- ****[[撃力を受けた回転軸連結棒の速さ]](2010.01.02) 「ファインマン物理学」演習より。[[回転軸連結された２本の棒]]と同じ系で，一端に撃力を受けた場合の2本の棒の速さの比を求める。 ---- ****[[ばね振子への衝突合体]](2010.01.02) 「ファインマン物理学」演習より。鉛直ばね振子がおもりと等質量の小球の衝突合体を受けて振動を始める。 ---- ****[[加速する斜面から飛び出す物体]](2010.01.02) 慶応'05入試問題より。水平に加速する斜面をのぼり，上端から飛び出す物体の運動。 ---- ****[[支点の上下する振子]](2010.01.01) 「一般力学30講」（戸田）より。パラメタ励振の好例。 ---- **[[2009年以前のページ>http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/270.html]] ---- 2012-02-06T11:35:47+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/551.html ****球面三角形と球面過剰 [[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1380886668]]のQ&Aより。球面三角形の面積は，球面過剰に半径二乗をかけたものになる。 ---- 【問題】 三角錐の頂点から底辺を見込む立体角を求めよ。ただし隣り合う側面どうしのなす角を $$A,B,C$$とする。 ---- 【解答】 結果的にこの問題は，半径1の球面上の球面三角形の内角が $$A,B,C$$ であるときに，その面積を求めよ，というものに等しい。球面三角形の面積は，球面過剰（球面三角形の内角の和の平面三角形の内角の和 = $$\pi$$ に対する過剰分）に半径二乗を乗じたものに等しいから，求める立体角は $$\Omega = A + B + C - \pi$$ となる。 ---- さて，球面三角形の面積が球面過剰×半径二乗に等しいことを示そう。以下， http://www.irf.se/~futaana/Kiruna/50_Kyumen.html からの受け売りである。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=551&file=KyumenSankaku.bmp) ２つの大円AB，ACによって切り取られる球面三角形ABCを含む葉っぱの形をした部分の面積は，球の半径を$$R$$とすると $$S + S_a = 4\pi R^2\times\frac{A}{2\pi} = 2AR^2$$ 同様にして，BA，BCおよびCA，CBによって切り取られる面積について $$S + S_b = 2BR^2\quad,\quad S + S_c = 2CR^2$$ を得る。ここで明らかに， $$S + S_a + S_b + S_c = 2\pi R^2$$ であるから， $$S = (A + B + C - \pi)R^2$$ を得る。 ---- 2012-02-06T11:32:09+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/550.html ****一様磁場中の荷電粒子の運動 [[物理のかぎしっぽ掲示板>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=29815&mode2=preview_pc]]から。磁場が角速度ベクトルと直結する軸性ベクトルであることを象徴するような議論。 ---- 一様磁場中の荷電粒子の運動は，磁場方向への等速運動とそれに垂直な面内の等速円運動の合成となる。特に初速度が磁場に垂直であれば，単に等速円運動となる。これはローレンツ力が速度に常に垂直であることから，ほとんど自明といえる。なぜなら，速度に垂直な力は仕事をしないから等速運動になり，ローレンツ力が円運動の向心力となるべきことが必然だからである。 もちろん運動方程式を解けば，垂直面内の等速円運動が導出される。簡単のため， $$\boldsymbol{v}_0\cdot\boldsymbol{B} = 0$$ すなわち，磁場方向の初速度成分をゼロとして等速円運動を導出しよう。運動方程式は， $$m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$$ であるから，磁場を$$z$$軸方向にとり成分に分ければ， $$m\frac{d v_x}{dt} = qv_yB$$ $$m\frac{d v_y}{dt} = -qv_xB$$ 両者から$$v_y$$を消去すれば， $$\ddot{v}_x = -\left(\frac{qB}{m}\right)^2v_x$$ と単振動の微分方程式を得，$$v_y$$についても同様の式が得られるから，それらを解けば $$\omega = \frac{qB}{m}$$ なる角速度をもつ等速円運動となることが容易に確認できる。 ---- これを成分分解せず，ベクトルのまま記述して等速円運動を導出しようというのが議論の本題である。 $$\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = -\frac{q\boldsymbol{B}}{m}\times\boldsymbol{v}$$ だから， $$\boldsymbol{\omega} = -\frac{q\boldsymbol{B}}{m}$$ とおけば， $$\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}$$ となる。これを積分すると，添字0を初期条件として $$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0) + \boldsymbol{v}_0$$ となるが，$$\boldsymbol{\omega}$$ 方向の初速成分をゼロ（$$\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{v}_0=0$$）とすれば，原点を適当に移して， $$\boldsymbol{v}_0 = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_0$$ とすることができる。その結果として， $$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\tag{1}$$ を得る。この微分方程式が等速円運動を表すことはほとんど自明ではあるが，これを用いて $$\frac{d\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\omega}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{r}\cdot\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} = 0$$ より， $$\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\omega} = {\rm const.}\tag{2}$$ を得る。これは質点の運動が $$\boldsymbol{\omega}$$ に垂直な面内に限られることを示す。同様に，(1)の両辺に $$\boldsymbol{r}$$ をかければ（内積をとれば）， $$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\boldsymbol{r} = 0$$ すなわち， $$\frac{d\boldsymbol{r}^2}{dt} = 0$$ $$\therefore |\boldsymbol{r}| = {\rm const.}\tag{3}$$ を得る。(2)(3)により，質点の軌道が円であることが示された。 さらに， $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left| \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|^2=2\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} =2\left(\boldsymbol{\omega}\times\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = 0$$ より， $$\left|\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right| = {\rm const.}\tag{4}$$ 以上より，質点の運動が等速円運動であることが示された。軌道方程式をベクトルで記述することが可能だが，これは下記を参照されたい。 参考： http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/19703.html http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=29815&mode2=preview_pc ---- 2012-02-03T11:35:51+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/549.html ****回転の記述と軸性ベクトル（５） [[回転の記述と軸性ベクトル（４）]]において磁場が軸性ベクトルであることをその源から解釈した。続いて電場を含めて電磁場が２階反対称の４元テンソルを構成することを示して，磁場の軸性を深く理解する礎としたい。 ---- *****(5) 磁場の軸性と電磁場のテンソル 電流を源として磁場が生じる法則（アンペールの法則またはビオ・サバールの法則）から，磁場の軸性について考察してきた。そこで，磁場ベクトルと双対をなす２階反対称テンソルを考え，それを空間成分とする４元テンソルが電磁場テンソルに他ならないことを示す。 磁場はその源である電流の配置によって決まるベクトルポテンシャル（極性ベクトル）によって， $$\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}$$ と書ける。$$\nabla$$ が極性ベクトル相当であるから，磁場は軸性ベクトルとなる。したがって，その双対をなすテンソルを $$\Omega$$ にならって $$^*\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}\quad 0 \quad -B_z \quad B_y\\ \quad B_z \qquad 0 \quad -B_x\\ -B_y\quad B_x \qquad 0\end{matrix}\right)$$ と書くことができる。たとえば，電荷 $$q$$が磁場から受ける（狭義の）ローレンツ力はこれを用いて， $$\boldsymbol{f} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} = -q\;^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}$$ と書ける。 さて，Maxwell方程式によって記述されるように，磁場は電場と切り離しがたく結びついている。これは，その源である４元電流密度 $${\rm J} = (\rho c, \boldsymbol{j})$$ が時空の４元ベクトルを構成することからもわかる。この $${\rm J}$$ の空間的配置によって４元ポテンシャル $${\rm A} = (\phi/c , \boldsymbol{A})$$ が決定する。詳細は拙著による小冊子[[特殊相対性理論compact>http://homepage2.nifty.com/ysc/Rel.pdf]]などを参考にしていただきたいが，結論を急げば，微分演算子 $$\boldsymbol{\partial} = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$$ と４元ポテンシャルとの反対称積（４元ベクトル積？）をとることで電磁場テンソルが得られ，反変成分は $${\rm F} = \left(\begin{matrix}0\qquad -\boldsymbol{E}/c\\\boldsymbol{E}/c\qquad ^*\boldsymbol{B}\end{matrix}\right)$$ という形になる。なお第１行の$$\boldsymbol{E}$$は行ベクトル，第１列のそれは列ベクトル，$$^*\boldsymbol{B}$$ は磁場の反対称テンソルを示す。これと４元速度ベクトルの共変成分 $${\rm U} = (\gamma c,-\gamma\boldsymbol{v})$$ との行列積をとることで，ローレンツ力の４元表現 $${\rm f} = q{\rm F}{\rm U} = \gamma q\left(\begin{matrix}\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\end{matrix}\right)$$ を得る。また，これも[[特殊相対性理論compact>http://homepage2.nifty.com/ysc/Rel.pdf]]に譲るが，この電磁場テンソルを用いるとMaxwell方程式がコンパクトな２つのテンソル方程式で記述することができるのである。 ※[[特殊相対性理論compact>http://homepage2.nifty.com/ysc/Rel.pdf]]では，磁場の反対称テンソル$$^*\boldymbol{B}$$の定義において上記と符号を逆にしたものを用いている。 ---- 2012-01-31T17:31:31+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/548.html ****回転の記述と軸性ベクトル（４） [[回転の記述と軸性ベクトル（３）]]までの議論で，角速度は回転軸方向を向く軸性ベクトルとして定義されるが，その本質は２階反対称テンソルの「代用」であることを示した。それに対して磁場が軸性ベクトルであるとはどういうことなのか考察してみる。 ---- *****(4) 磁場の軸性とは何か？ 検索してみると，まさにこのテーマにそった良質の議論を10年前の[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q202443.html#answer]]にみつけることができた。ここをカンニングしながらまとめてみたい。 上記の回答でとりわけ秀逸なNo.1（hagiwara_m氏）はそのまま引用させていただく。 ---- ベクトル量の鏡映対称の変換の規則の問題ですが、これは単にあるベクトルを眺めていて決められるものではなく、色々な物理量ベクトルの物理的相互関係により判断することになります。鏡映したときに、物理的に起こることが同じになるような変換則を採用するわけです。 出発点となる拠り所は実空間の位置概念です。鏡像の世界を考えると、あらゆる物の配置が鏡映されますから、位置・変位ベクトル、続いて定義されていく速度、加速度、力、さらに派生する、電流、クーロン電場などは、正に図形としての矢印のように、各点の位置といっしょに鏡映して考えればいいことが確信されます。これらが極性ベクトル(普通のベクトル)です。 ところが、例えば環電流の内側に発生する磁束密度Ｂの向きは、電流の回転の向き(右巻きか左巻きか)で決まります。鏡映によってこの右巻き左巻きが逆になりますが、対するＢの向きはどうでしょう。これをイメージするのには、（右ネジの法則を考えるとき使う）手の(人指～小)指の巻く向きとそれに垂直に立つ親指の向きで考えるといいでしょう。親指の先を向かい合わせるように、あるいは、両親指を上に向けるように、両手を鏡像の位置に置いてみて下さい。これが図形的な鏡映関係ですが、親指の向きをＢの向きと考えると、右手は右手の法則、左手は左手の法則になってしまい、鏡像の世界で電磁気の法則が成立ちません。鏡像の環電流をつくっても、そこでもやはり右手の法則でＢの向きがきまるように考えなければならないのです。このとき、Ｂは図形としての矢印を鏡映したような変換にしたがいません。このＢのようなベクトルが軸性ベクトルです。 こうしたことは、磁束(密度)が、電荷運動や電場の回転に対応づけられる量であることに起因して起こります。ます。一般に、極性ベクトルの外積(あるいは回転)で定義されるベクトルは、軸性ベクトルになります。 ---- hagiwara_m氏はこのあと回答No.2で，よく使われる空間反転（パリティ変換）と鏡映の違いについて述べ，「パリティ変換は、対称面の選び方が複数あるという煩わしさを伴わないので、数学的な扱いが、鏡映の場合よりむしろすっきりするようです。」と補足している。 続く回答No.3～5のsiegmund氏も基本的にhagiwara_m氏に追随しているが，磁場の軸性についてビオ・サバールの法則を根拠とした説明を試みている。これはもちろん，hagiwara_m氏の「電荷運動や電場の回転に対応づけられる」という定性的な説明の定量化をしたものである。 ---- $$\boldsymbol{B}$$も，電流素片 $$Id\boldsymbol{s}$$ が場所 $$\boldsymbol{r}$$ に作る微小な $$\boldsymbol{B}$$ が $$d\boldsymbol{B}(r) = \frac{\mu_0Id\boldsymbol{s}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3}$$ というように決めていますので(ビオ・サバールの法則)位置ベクトルの $$\boldsymbol{r},\boldsymbol{s}$$ の変換性から，$$d\boldsymbol{B}$$ が軸性ベクトルになることはすぐわかります。 …（中略） ビオ・サバールの法則をベクトルポテンシャルで表現すると $$d\boldsymbol{A}(r) = \frac{\mu_0 Id\boldsymbol{s}}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|}$$ です。直接 $$d\boldsymbol{B}$$ を表現するよりずっと簡単ですね。 $$d\boldsymbol{A}$$ は明らかに極性ベクトル，したがってベクトルポテンシャル $$\boldsymbol{A}$$ も極性ベクトルです。$$\boldsymbol{B} = \nabla\times \boldsymbol{A}$$ ですから，これが例になっていますかね。一般に，極性ベクトルの rot は軸性ベクトルです。 ---- 上記のような関係は，Maxwell方程式とも符合する。 $$\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu _{0}\boldsymbol{J} + \mu_{0}\varepsilon _{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$$ ---- [[回転の記述と軸性ベクトル（５）]]へ続く ---- 2012-01-31T00:03:55+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/546.html ****カージオイドを軌道とする中心力場 軌道の形状から中心力場を逆算する問題。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1180419221]]より。 ---- 【問題】 力の中心を原点とする極座標で $$r=a(1+\cos\theta)$$ で与えられる軌道を描く質点が受ける中心力を求めよ。 ---- 【解答】 与えられた軌道はカージオイドである。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=546&file=cardioid.bmp) 平面極座標における動径方向の運動方程式は $$m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = f(r)$$ また，方位角方向の運動方程式より，角運動量保存 $$r^2\dot{\theta} = h$$ を得る。軌道方程式より， $$r = a ( 1 + \cos\theta )$$ $$\dot{r} = -a\dot{\theta}\sin\theta$$ $$\ddot{r} = -a ( \ddot{\theta} \sin\theta + \dot{\theta}^2 \cos\theta )$$ 角運度量保存により， $$\dot{\theta} = \frac{h}{r^2}$$ $$\ddot{\theta} = -\frac{2h\dot{r}}{r^3} = \frac{2ah^2 \sin\theta}{r^5}$$ あらためて軌道方程式より， $$\cos\theta = \frac{r}{a} - 1$$ $$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = - \frac{r^2}{a^2} + \frac{2r}{a}$$ 以上から $$f(r) = m \left( \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} \right) = -\frac{3mah^2}{r^4}$$ を得る。ただし，$$r=0$$ は特異点となり接線速度が発散してしまうので，現実にはカージオイド軌道を周回することはできないであろう。あらためて運動方程式を数値積分して得られる軌道を描いてみた。$$\theta(0)=0$$ から出発すると原点に落ち込んだ際に速度の増大に計算ステップが追い付かなくなり，弾き飛ばされるかっこうになる。半分得られた軌道を反転させてつないでみた。 #ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=546&file=cardioid2.bmp) ---- 2012-01-30T19:30:56+09:00 http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/547.html ****回転の記述と軸性ベクトル（３） [[回転の記述と軸性ベクトル（２）]]に引き続いてベクトル積と軸性ベクトルの関連を考察する。 ---- *****(3) ベクトル積と軸性ベクトル [[回転の記述と軸性ベクトル（１）]]において，本来ベクトル積と軸性ベクトルは，２階反対称テンソルとして記述されるべきものをその双対をとって階数を１下げる「便宜」によって発明されたものであることに触れた。たとえば，回転による速度は $$\Omega \boldsymbol{r} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\quad,\quad\Omega = \left(\begin{matrix}\quad 0 \quad -\omega_z \quad \omega_y\\ \omega_z \qquad 0 \quad -\omega_x\\ -\omega_y\quad \omega_x \qquad 0\end{matrix}\right)$$ これは， $$\Omega = ^*\boldsymbol{\omega}$$ という双対関係を根拠としている。しかし，一般にベクトル積 $$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$$ は，上のような根拠から独り歩きして，ベクトルの軸性・極性に関らず２つのベクトルの間の演算として定義されている。したがって，極性ベクトルどうしのベクトル積もまた意味をなし，それが軸性ベクトルを生成するというわかりにくいが便利な記述をもたらす。たとえば，ベクトル $$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$$ のスカラー三重積 $$\boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})$$ が，３つのベクトルの張る平行六面体の体積になることはよく知られている。この場合ベクトル積は，２つのベクトルが張る平行四辺形の面積を大きさとし，平行四辺形に垂直なベクトルを生成する役割を担っている。まさに，これが面を表す軸性ベクトルになるわけだ。そしてこの面ベクトルに対して残るベクトルの正射影＝スカラー積をとることで高さを引き出して体積を得ることができる。 面積が（その表裏を含めて）法線ベクトルで一意に指定されることは，微分形式の外積を用いることでもその根拠を示すことができる。たとえば，$$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$$ が $$xy$$平面上のベクトルであるとすると， $$(A_xdx + A_ydy) \wedge (B_xdx + B_ydy)$$ 　　　$$ = A_xB_xdx \wedge dx + A_xB_ydx \wedge dy + A_yB_x dy \wedge dx + A_yB_y dy \wedge dy$$ 　　　$$ = (A_xB_y -A_yB_x)dx\wedge dy$$ となる。ここで，外積演算自体がもつ反対称性 $$dx\wedge dx = 0,\quad dy \wedge dx = -dx\wedge dy$$ 等を用いた。 このように面を記述するのに法線ベクトルで代用できるという便宜は，まさに３次元空間における面素（たとえば $$dx\wedge dy$$ ）がそれに垂直な線素（$$dz$$）と双対をなすということを根拠にしているのである。したがって，この関係は３次元空間限定であり，たとえば４次元時空にそのまま適用することはできない。 この面ベクトルという軸性ベクトルは，ガウスの定理やストークスの定理，またガウスの法則等の記述にもよく使われている。 $$\int_S \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla\cdot\boldsymbol{A}dV$$ ---- [[回転の記述と軸性ベクトル（４）]]へ続く ---- 2012-01-30T13:19:46+09:00