量子力学の基本定理証明における２つの表現（覚え書き）
エルミート演算子の固有値の実数性，異なる固有値に対する固有関数の直交性…という基本定理の証明における，２つの表記法（積分表記，ブラケット表記）を比較する。
【定理】
エルミート演算子の固有値は実数である。また，異なる固有値に対する固有関数は互いに直交する。
【証明】
エルミート演算子について，固有値方程式を


とすると，

　…(i)

交換すると，


両辺のエルミート共役をとると，のエルミート性より

　…(ii)

　　　　

(i)(ii)を辺々引いて，


　のとき，

　すなわち　は実数。

　かつ　　のとき，


すなわち，異なる固有値に対する固有関数は互いに直交する。（証明終）

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