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斜面を転がり下りる速さ
大道仮説実験「ころりん」でも話題を呼んだ，斜面上の転がり運動の本質。
すべりのない（エネルギー散逸のない）剛体の転がりについて考察しよう。
球，円盤，輪など軸対称の剛体について，質量をm，半径をa とすると，慣性モーメントは I=\gamma ma^2 と書ける。ただし，\gamma は形状によって定まる無次元定数である。この剛体が，軸まわりの角速度 \omega，速さ v=a\omega で斜面を転がり下りているときの運動エネルギーは，

K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2
　　= \frac{1}{2}(1+\gamma)mv^2

となる。つまり，運動エネルギーは1:\gammaの比で重心の運動エネルギーと重心まわりの回転の運動エネルギーとに配分されるわけである。したがって，\gammaが小さいほど，すなわち慣性モーメントが小さく転がりやすいほど，同じ高さでの速さは大きくなることになる。また，重力による位置エネルギーも質量mに比例するから，力学的エネルギー保存によって，同じ高さでの速さはmおよびaに依存せず，形状によって決まる因子\gammaのみによって定まる。

斜面の傾角\thetaとすると，初速ゼロから斜面上を距離xだけ転がり下りた後の速さvとして，
mgx\sin\theta = \frac{1}{2}(1+\gamma)mv^2
したがって，
v = \sqrt{\frac{2gx\sin\theta}{1+\gamma}
となる。
斜面上を初速ゼロで距離lだけ転がり下りるのに要する時間は，
T = \sqrt{\frac{1+\gamma}{2g\sin\theta}}\int_0^l\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{2(1+\gamma)}{\sin\theta}\cdot\frac{l}{g}} = T_0\sqrt{1+\gamma}
となる。ここに，
T_0 = \sqrt{\frac{2l}{g\sin\theta}}
は，摩擦なくすべり下りるときの所要時間である。

たとえば，傾角30°の斜面を1m下りる時間と末端速度は，

摩擦なし（\gamma=0　）　　：0.639 sec.，3.13m/s
球　　　　（\gamma=2/5）　：0.756 sec.　，2.65m/s
円盤　　（\gamma=1/2）　　：0.782 sec.　，2.56m/s
輪　　　　（\gamma=1　）　　：0.904 sec.　，2.21m/s

などとなる。
\theta=\sin^{-1}(1/8)，l=1mとして，実験してみた。

球（スーパーボール）　1.5 sec.　（理論値　1.51）
円筒（単１乾電池）　　1.6 sec.　（理論値　1.56）
輪（幅広セロテープ）　1.8 sec.　（理論値　1.81）
（缶コーヒー空き缶）　1.8 sec.
球殻　\gamma=2/3
（ソフトテニスボール）1.7 sec.　（理論値　1.65）
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最終更新：2009年01月28日 15:41