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Yahoo!知恵袋のQ&Aから。惑星の位置計算に，こんな解析的な方法があることを知った。

動径方向および方位角方向の運動方程式より，

両式からを消去すればに関する微分方程式を得るから，それを積分すれば，惑星位置を得ることは可能である。ただし，解析的に積分できるかどうかはわからない。いまや数値積分は常套手段であるから，これで目的は果たされているのではあるが，Yahoo!知恵袋への回答に挑戦して，以下のような解析的な解法があることを知った。

運動方程式から軌道方程式まで（１）～運動方程式から軌道方程式まで（３）において紹介したように，軌道方程式

は，変数変換 というテクニックはあるものの，常識的な手順で導出することができた。
続いて，これを

に代入し， に関する微分方程式をつくる。すなわち，

これを，かなりトリッキーな変数変換を用いて解析的に解く。

　　ただし，　

とおく。微分すると，

また，

を得る。これらを上の に関する微分方程式に代入すると，

を書き戻して左辺をさらに計算すると，

を得る。初期条件のもとに積分すると，

時間 におけるの変域 は，の変域 に移るので， のとき すなわち，

結局

の結果に至る。

さて，この結果はを示してはいるが，は解析的には導けそうにない。このあとどう展開するのかは今のところ不明なので，ひとまず保留としておこう。