ばねで連結された振子群の振動

バークレー物理学コース「波動」より。ばねで連結された振子群に生じる定常波と，分散関係。

【問題】

質量 $M$ の質点が，長さ $l$ の軽い糸でつりさげられ，その $N$ 組が互いにばね定数 $K$ の軽いばねで連結されている。振子の支点間距離およびばねの自然長は $a$ とする。全体の長さは， $L = (N-1)a$ である。重力加速度の大きさを $g$ とする。また，以下において振動による質点の平衡位置からの変位は $l$ より十分小さく，ばねの伸縮は自然長 $a$ より十分小さいものとせよ。

(1) 左から $n$ 番目（ $n&gt;1$ ）の質点の変位を $x_n$ として，運動方程式をたてよ。
(2) $x_n = A_n\cos(\omega t+\phi)$ とおいて，運動方程式に代入することによって，規準振動における振幅と角振動数 $\omega$ の関係を導出せよ。
(3) 定常波において， $A_n = A\sin kna + B\cos kna$ 　と仮定して，(2)の関係式から振幅を消去し， $\omega$ の波長への依存性 $\omega=\omega(k)$ 　すなわち分散関係を求めよ。