科学のおもちゃ箱 @wiki

物理のかぎしっぽ数式掲示板 というややハイレベルなQ&A掲示板がある。ここに次の質問が寄せられた。

「問題」
電気双極子：微小区間dで並ぶ点電荷qと-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント：P=qdに比べて十分に遠方の点Pでの電位Φ(r)を求めなさい。
※答えは

になるそうです。

次に電場を求めなさい。
※答えは

になるそうです。

この掲示板はかなり刺激的で，なかなかついていけない議論も多いが，これはなんとかできそう？
で，やってみた。
からまでのベクトルを，またとして，
による電位

による電位

したがって，

電場は電位の勾配をとればよいが，これがなかなか大変。

一般に，

すなわち，

となる。ただし，右辺は行列としての積をとるものとし，「」は直積を意味する。すなわち，

は定ベクトルであるから，結局

となる。の係数は，

であるから，

よって，

となる。（終わり）